Интегральное уравнение Фредгольма - Fredholm integral equation

В математика, то Интегральное уравнение Фредгольма является интегральное уравнение чье решение приводит к Теория Фредгольма, изучение Ядра Фредгольма и Фредгольмовы операторы. Интегральное уравнение изучалось Ивар Фредхольм. Полезный метод решения таких уравнений - Метод разложения Адомиана, связано с Георгий Адомян.

Уравнение первого рода

Уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Близко родственная форма - это Интегральное уравнение Вольтерра который имеет переменные интегральные пределы.

An неоднородный Уравнение Фредгольма первого рода записывается как

{ displaystyle g (t) = int _ {a} ^ {b} K (t, s) f (s) , mathrm {d} s ~,}

и проблема в том, что при непрерывном ядро функция ${ displaystyle K}$ и функция ${ displaystyle g}$ , чтобы найти функцию ${ displaystyle f}$ .

Важным случаем этих типов уравнений является случай, когда ядро является функцией только разности своих аргументов, а именно ${ Displaystyle К (т, с) = К (т {-} с)}$ , а пределы интегрирования равны ± ∞, то правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle f}$ и поэтому формально решение дается формулой

{ displaystyle f (s) = { mathcal {F}} _ { omega} ^ {- 1} left [{{ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] ( omega) over { mathcal {F}} _ {t} [K (t)] ( omega)} right] = int _ {- infty} ^ { infty} {{ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] ( omega) over { mathcal {F}} _ {t} [K (t)] ( omega)} e ^ {2 pi i omega s} mathrm {d} omega}

где ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ и ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { omega} ^ {- 1}}$ прямая и обратная Преобразования Фурье соответственно. Этот случай обычно не включается в интегральные уравнения Фредгольма, название, которое обычно зарезервировано для случаев, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки на некомпактных группах некомпактны, поскольку, как правило, спектр оператора свертки с ${ displaystyle K}$ содержит диапазон ${ displaystyle { mathcal {F}} {K}}$ , которое обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретные счетные спектры).

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

${ displaystyle varphi (t) = f (t) + lambda int _ {a} ^ {b} K (t, s) varphi (s) , mathrm {d} s.}$

Учитывая ядро $К (т, с)$ , а функция $f (t)$ , проблема обычно заключается в том, чтобы найти функцию $φ (t)$ .

Стандартный подход к решению этой проблемы - использовать итерацию, равную резольвентный формализм; записанное в виде ряда, решение известно как Лиувилля – Неймана..

Общая теория

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как Теория Фредгольма. Одним из основных результатов является то, что ядро $K$ дает компактный оператор. Компактность можно показать, вызвав равностепенная непрерывность. Как оператор он имеет спектральная теория что можно понять в терминах дискретного спектра собственные значения которые стремятся к 0.

Приложения

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработка сигнала, например как известные проблема спектральной концентрации популяризируется Давид Слепян. Используемые операторы такие же, как линейные фильтры. Они также часто возникают при линейном прямом моделировании и обратные задачи. В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными лежащими в основе распределениями, например массовым распределением полимеров в полимерном расплаве,^[1] или распределение времен релаксации в системе.^[2] Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма возникают и в механика жидкости задачи, связанные с гидродинамическими взаимодействиями вблизи упругих границ раздела конечных размеров.^[3] ^[4]

Смотрите также

использованная литература

^ Honerkamp, J .; Виз, Дж. (1990). "Тихоновский метод регуляризации некорректных задач". Механика сплошной среды и термодинамика. 2 (1): 17–30. Bibcode:1990CMT ..... 2 ... 17H. Дои:10.1007 / BF01170953.
^ Schäfer, H .; Стернин, Э .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Кремер Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма с физическими проверками. 76 (12): 2177–2180. Bibcode:1996ПхРвЛ..76.2177С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.76.2177. PMID 10060625.
^ Дадди-Мусса-Идер, А .; Kaoui, B .; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение за счет стокслета вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 88 (5): 054401. arXiv:1901.04485. Дои:10.7566 / JPSJ.88.054401.
^ Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное стоксово течение, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 89: 124401. arXiv:2006.14375. Дои:10.7566 / JPSJ.89.124401.

Интегральные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
Полянин А. Манжиров, Справочник интегральных уравнений, CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Хведелидзе, Б.В .; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], «Фредгольмовое ядро», Энциклопедия математики, EMS Press
Simons, F.J .; Wieczorek, M. A .; Дален, Ф.А. (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». SIAM Обзор. 48 (3): 504–536. arXiv:математика / 0408424. Bibcode:2006SIAMR..48..504S. Дои:10.1137 / S0036144504445765.
Слепян, Д. (1983). «Некоторые комментарии по анализу Фурье, неопределенности и моделированию». SIAM Обзор. 25 (3): 379–393. Дои:10.1137/1025078.
Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.1. Уравнения Фредгольма второго рода». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: В. А. Бенджамин, ISBN 0-8053-7002-1

[1] Honerkamp, J .; Виз, Дж. (1990). "Тихоновский метод регуляризации некорректных задач". Механика сплошной среды и термодинамика. 2 (1): 17–30. Bibcode:1990CMT ..... 2 ... 17H. Дои:10.1007 / BF01170953.

[2] Schäfer, H .; Стернин, Э .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Кремер Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма с физическими проверками. 76 (12): 2177–2180. Bibcode:1996ПхРвЛ..76.2177С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.76.2177. PMID 10060625.

[3] Дадди-Мусса-Идер, А .; Kaoui, B .; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение за счет стокслета вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 88 (5): 054401. arXiv:1901.04485. Дои:10.7566 / JPSJ.88.054401.

[4] Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное стоксово течение, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 89: 124401. arXiv:2006.14375. Дои:10.7566 / JPSJ.89.124401.

[1]

[2]

[3]

[4]