Лиувилля – Неймана. - Liouville–Neumann series

В математика, то Лиувилля – Неймана. является бесконечная серия что соответствует резольвентный формализм техника решения Интегральные уравнения Фредгольма в Теория Фредгольма.

Определение

Ряд Лиувилля – Неймана (итерационный) определяется как

${ displaystyle phi left (x right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} lambda ^ {n} phi _ {n} left (x right)}$

при условии, что ${ displaystyle lambda}$ достаточно мал, чтобы ряд сходился, является единственным непрерывный решение Интегральное уравнение Фредгольма второго рода,

Если пй повторяется ядро определяется как п−1 вложенных интегралов от п операторы K,

${ displaystyle K_ {n} left (x, z right) = int int cdots int K left (x, y_ {1} right) K left (y_ {1}, y_ {2 } right) cdots K left (y_ {n-1}, z right) dy_ {1} dy_ {2} cdots dy_ {n-1}}$

тогда

${ displaystyle phi _ {n} left (x right) = int K_ {n} left (x, z right) f left (z right) dz}$

с

${ Displaystyle фи _ {0} влево (х вправо) = е влево (х вправо) ~,}$

так K₀ может считаться δ(х-г).

В противовоспалительное средство (или ядро ​​решения для интегрального оператора) тогда дается схематическим аналогом "геометрического ряда",

${ displaystyle R left (x, z; lambda right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} lambda ^ {n} K_ {n} left (x, z right). }$

куда K₀ был принят за δ(х-г).

Таким образом, решение интегрального уравнения становится просто

${ displaystyle phi left (x right) = int R left (x, z; lambda right) f left (z right) dz.}$

Аналогичные методы могут использоваться для решения Уравнения Вольтерра.

Рекомендации

• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: В. А. Бенджамин, ISBN  0-8053-7002-1
• Фредхольм, Эрик И. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF), Acta Mathematica, 27: 365–390, Дои:10.1007 / bf02421317

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.