Компактное встраивание - Compact embedding

В математика, понятие бытия компактно встроенный выражает идею о том, что один набор или пространство «хорошо заключены» внутри другого. Есть версии этой концепции, соответствующие общим топология и функциональный анализ.

Определение (топологические пространства)

Позволять (Икс, Т) быть топологическое пространство, и разреши V и W быть подмножества из Икс. Мы говорим что V является компактно встроенный в W, и писать V ⊂⊂ W, если

V ⊆ Cl (V) ⊆ Int (W), где Cl (V) обозначает закрытие из V, и Int (W) обозначает интерьер из W; и
Cl (V) является компактный.

Определение (нормированные пространства)

Позволять Икс и Y быть двумя нормированные векторные пространства с нормами || • ||_Икс и || • ||_Y соответственно, и предположим, что Икс ⊆ Y. Мы говорим что Икс является компактно встроенный в Y, и писать Икс ⊂⊂ Y, если

Икс является постоянно внедренный в Y; т.е. существует постоянная C такой, что ||Икс||_Y ≤ C||Икс||_Икс для всех Икс в Икс; и
Вложение Икс в Y это компактный оператор: любой ограниченное множество в Икс является полностью ограниченный в Y, т.е. каждый последовательность в таком ограниченном множестве имеет подпоследовательность то есть Коши в норме || • ||_Y.

Если Y это Банахово пространство, эквивалентное определение состоит в том, что оператор вложения (тождество) я : Икс → Y это компактный оператор.

Применительно к функциональному анализу эта версия компактного вложения обычно используется с Банаховы пространства функций. Некоторые из Теоремы вложения Соболева компактные теоремы вложения. Когда вложение не компактно, оно может обладать родственным, но более слабым свойством компактность.

Компактное встраивание - Compact embedding

Определение (топологические пространства)

Определение (нормированные пространства)

Рекомендации