Вложение Cocompact - Cocompact embedding

В математике кокомпактные вложения находятся вложения из нормированные векторные пространства обладающий определенным свойством, аналогичным, но более слабым, чем компактность. Cocompactness использовалась в математический анализ с 1980-х годов, без каких-либо имен ^[1](Лемма 6),^[2](Лемма 2.5),^[3](Теорема 1), или специальными именами, такими как лемма об исчезновении или же обратное вложение.^[4]

Свойство кокомпактности позволяет проверять сходимость последовательностей на основе трансляционной или масштабной инвариантности в задаче и обычно рассматривается в контексте Соболевские пространства. Период, термин кокомпактное вложение вдохновлен понятием кокомпактное топологическое пространство.

Определения

Позволять ${ displaystyle G}$ - группа изометрий на нормированном векторном пространстве ${ displaystyle X}$. Один говорит, что последовательность ${ displaystyle (x_ {k}) subset X}$ сходится к ${ displaystyle x in X}$ ${ displaystyle G}$-слабо, если для каждой последовательности ${ displaystyle (g_ {k}) subset G}$, последовательность ${ displaystyle g_ {k} (x_ {k} -x)}$ слабо сходится к нулю.

А непрерывное вложение двух нормированных векторных пространств, ${ Displaystyle X hookrightarrow Y}$ называется компактный относительно группы изометрий ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle X}$ если каждый ${ displaystyle G}$-слабо сходящаяся последовательность ${ displaystyle (x_ {k}) subset X}$ сходится в ${ displaystyle Y}$.^[5]

Элементарный пример: компактность для ${ Displaystyle ell ^ { infty} hookrightarrow ell ^ { infty}}$

Вложение пространства ${ Displaystyle ell ^ { infty} ( mathbb {Z})}$ в себя кокомпактна относительно группы ${ displaystyle G}$ смен ${ displaystyle (x_ {n}) mapsto (x_ {n-j}), j in mathbb {Z}}$. Действительно, если ${ Displaystyle (х_ {п}) ^ {(к)}}$, ${ Displaystyle к = 1,2, точки}$, представляет собой последовательность ${ displaystyle G}$-слабо сходится к нулю, то ${ displaystyle x_ {n_ {k}} ^ {(k)} to 0}$ на любой выбор ${ displaystyle n_ {k}}$. В частности, можно выбрать ${ displaystyle n_ {k}}$ такой, что${ Displaystyle 2 | x_ {n_ {k}} ^ {(k)} | geq sup _ {n} | x_ {n} ^ {(k)} | = | (x_ {n}) ^ { (k)} | _ { infty}}$, откуда следует, что ${ Displaystyle (х_ {п}) ^ {(к)} к 0}$в ${ Displaystyle ell ^ { infty}}$.

Некоторые известные кокомпактные, но не компактные вложения

• ${ Displaystyle ell ^ {p} ( mathbb {Z}) hookrightarrow ell ^ {q} ( mathbb {Z})}$, ${ displaystyle q$, относительно действия переводов на ${ Displaystyle mathbb {Z}}$:^[6] ${ displaystyle (x_ {n}) mapsto (x_ {n-j}), j in mathbb {Z}}$.
• ${ Displaystyle H ^ {1, p} ( mathbb {R} ^ {N}) hookrightarrow L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {N})}$, ${ displaystyle p$, ${ displaystyle N> p}$, относительно действий переводов на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$.^[1]
• ${ displaystyle { dot {H}} ^ {1, p} ( mathbb {R} ^ {N}) hookrightarrow L ^ { frac {pN} {Np}} ( mathbb {R} ^ {N })}$, ${ displaystyle N> p}$, относительно группы продуктов действий расширений и переводов на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$.^[2][3][6]
• Вложения пространства Соболева в Дело Мозера – Трудингера в соответствующий Пространство Орлича.^[7]
• Вложения пространств Бесова и Трибеля – Лизоркина.^[8]
• Вложения Пространства Стрихарца.^[4]

Рекомендации