Пространство Орлича - Википедия - Orlicz space

В математический анализ, и особенно в настоящий и гармонический анализ, Пространство Орлича это тип функционального пространства, которое обобщает L^п пробелы. Словно L^п пространства, они Банаховы пространства. Пространства названы в честь Владислав Орлич, который первым определил их в 1932 году.

Кроме L^п Пространства, множество функциональных пространств, естественно возникающих при анализе, являются пространствами Орлича. Одно такое пространство L бревно⁺ L, возникающий при изучении Максимальные функции Харди – Литтлвуда, состоит из измеримых функций ж такой, что интеграл

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} | f (x) | log ^ {+} | f (x) | , dx < infty.}$

Здесь журнал⁺ это положительная часть логарифма. Также в класс пространств Орлича входят многие из наиболее важных Соболевские пространства.

Терминология

Эти пространства подавляющее большинство математиков и все монографии, изучающие их, называют пространствами Орлича, поскольку Владислав Орлич был первым, кто представил их в 1932 году.^[1] Небольшое меньшинство математиков, в том числе Войбор Войчинский, Эдвин Хьюитт и Владимир Мазя - включить имя Зигмунт Бирнбаум также, ссылаясь на его более раннюю совместную работу с Владислав Орлич. Однако в статье Бирнбаума – Орлича пространство Орлича не вводится ни явно, ни неявно, поэтому это соглашение об именах неверно. По тем же причинам это соглашение открыто критиковалось другим математиком (и знатоком истории пространств Орлича), Лехом Малигранда.^[2] Орлич был подтвержден как человек, который представил пространства Орлича еще Стефан Банах в его монографии 1932 года.^[3]

Формальное определение

Предположим, что μ является σ-конечная мера на съемочной площадке Икс, а Φ: [0, ∞) → [0, ∞) - Функция Юнга, т.е. выпуклая функция такой, что

${ displaystyle { frac { Phi (x)} {x}} to infty, quad { text {as}} x to infty,}$

${ displaystyle { frac { Phi (x)} {x}} to 0, quad { text {as}} x to 0.}$

Позволять ${ Displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ - множество измеримых функций ж : Икс → р такой, что интеграл

${ Displaystyle int _ {X} Phi (| е |) , d mu}$

конечно, где, как обычно, согласованные функции почти всюду определены.

Этот не может быть векторное пространство (т.е. оно может не замкнуться при скалярном умножении). В векторное пространство функций, охватываемых ${ Displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ пространство Орлича, обозначаемое ${ Displaystyle L _ { Phi}}$.

Определить норму на ${ displaystyle L _ { Phi}}$, пусть Ψ - дополнение Юнга к Φ; то есть,

${ Displaystyle Psi (x) = int _ {0} ^ {x} ( Phi ') ^ {- 1} (t) , dt.}$

Обратите внимание, что Неравенство Юнга для продуктов держит:

${ displaystyle ab leq Phi (a) + Psi (b).}$

Тогда норма определяется как

${ Displaystyle | е | _ { Phi} = sup left { | fg | _ {1} mid int Psi circ | g | , d mu leq 1 right }.}$

Кроме того, пространство ${ displaystyle L _ { Phi}}$ есть в точности пространство измеримых функций, для которых эта норма конечна.

Эквивалентная норма (Рао и Рен 1991, §3.3), называемая нормой Люксембурга, определена на L_Φ к

${ Displaystyle | е | '_ { Phi} = inf left {k in (0, infty) mid int _ {X} Phi (| f | / k) , d mu leq 1 right },}$

и аналогично L_Φ(μ) - пространство всех измеримых функций, для которых эта норма конечна.

Пример

Вот пример, где ${ Displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ не является векторным пространством и строго меньше, чем ${ Displaystyle L _ { Phi}}$.Предположим, что Икс - открытый единичный интервал (0,1), Φ (Икс) = ехр (Икс) – 1 – Икс, и ж(Икс) = журнал (Икс). потом аф находится в космосе ${ Displaystyle L _ { Phi}}$ но есть только в комплекте ${ Displaystyle L _ { Phi} ^ { dagger}}$ если |а| < 1.

Характеристики

• Пространства Орлича обобщают L^п пробелы (для ${ Displaystyle 1 <р < infty}$) в том смысле, что если ${ Displaystyle varphi (т) = т ^ {р}}$, тогда ${ displaystyle | u | _ {L ^ { varphi} (X)} = | u | _ {L ^ {p} (X)}}$, так ${ Displaystyle L ^ { varphi} (X) = L ^ {p} (X)}$.
• Пространство Орлича ${ Displaystyle L ^ { varphi} (X)}$ это Банахово пространство - а полный нормированный векторное пространство.

Связь с пространствами Соболева

Определенный Соболевские пространства вложены в пространства Орлича: для ${ Displaystyle X substeq mathbb {R} ^ {п}}$ открыто и ограниченный с Граница Липшица ${ displaystyle partial X}$,

${ Displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (X) substeq L ^ { varphi} (X)}$

за

${ displaystyle varphi (t): = exp left (| t | ^ {p / (p-1)} right) -1.}$

Это аналитическое содержание Неравенство Трудингера: За ${ Displaystyle X substeq mathbb {R} ^ {п}}$ открытый и ограниченный с липшицевой границей ${ displaystyle partial X}$рассмотрите пространство ${ displaystyle W_ {0} ^ {k, p} (X)}$, ${ displaystyle kp = n}$. Существуют константы ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}> 0}$ такой, что

${ displaystyle int _ {X} exp left ( left ({ frac {| u (x) |} {C_ {1} | mathrm {D} ^ {k} u | _ {L) ^ {p} (X)}}} right) ^ {p / (p-1)} right) , mathrm {d} x leq C_ {2} | X |.}$

Норма Орлича случайной величины

Аналогично, норма Орлича случайная переменная характеризует его следующим образом:

${ Displaystyle | Икс | _ { Пси} треугольник инф влево {к в (0, инфти) середина имя оператора {E} [ Пси (| Х | / к)] Leq 1 right }.}$

Эта норма однородный и определяется, только когда этот набор не пуст.

Когда ${ Displaystyle пси (х) = х ^ {р}}$, это совпадает с п-го момент случайной величины. Остальные частные случаи в экспоненциальном семействе рассматриваются относительно функций ${ Displaystyle Пси _ {д} (х) = ехр (х ^ {д}) - 1}$ (за ${ displaystyle q geq 1}$). Случайная величина с конечным ${ displaystyle Psi _ {2}}$ норма называется "субгауссовский "и случайная величина с конечным ${ displaystyle Psi _ {1}}$ норма называется «субэкспоненциальной». Действительно, ограниченность ${ displaystyle Psi _ {p}}$ norm характеризует предельное поведение функции плотности вероятности:

${ displaystyle | X | _ { Psi _ {p}} = c rightarrow lim _ {x rightarrow infty} f_ {X} (x) exp (| x / c | ^ {p} ) = 0,}$

так что хвост этой функции плотности вероятности асимптотически похож и ограничен сверху величиной ${ Displaystyle ехр (- | х / с | ^ {p})}$.

В ${ displaystyle Psi _ {1}}$ норма может быть легко вычислена из строго монотонной момент-производящая функция. Например, производящая момент функция хи-квадрат случайная величина X с K степенями свободы равна ${ Displaystyle M_ {X} (t) = (1-2t) ^ {- K / 2}}$, так что величина, обратная ${ displaystyle Psi _ {1}}$ норма связана с функционалом, обратным производящей функции момента:

${ displaystyle | X | _ { Psi _ {1}} ^ {- 1} = M_ {X} ^ {- 1} (2) = (1-4 ^ {- 1 / K}) / 2 .}$

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Birnbaum, Z. W .; Орлич, В. (1931), "Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander Konjugierten Potenzen", Studia Mathematica, 3: 1–67 PDF.
• Бунд, Ирасема (1975), "Пространства Бирнбаума – Орлича функций на группах", Тихоокеанский математический журнал, 58 (2): 351–359.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл, Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Красносельский, М.А.; Рутицкий, Я.Б. (1961), Выпуклые функции и пространства Орлича, Гронинген: P.Noordhoff Ltd
• Rao, M.M .; Рен, З.Д. (1991), Теория пространств Орлича, Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер, ISBN  0-8247-8478-2.
• Зигмунд, Антони, "Глава IV: Классы функций и ряды Фурье", Тригонометрические ряды, Том 1 (3-е изд.), Cambridge University Press.
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель, Вероятность в банаховых пространствах, Springer-Verlag.

внешняя ссылка

• "Пространство Орлича", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]