Домен Липшица - Википедия - Lipschitz domain

В математика, а Липшицевский домен (или же область с липшицевой границей) это домен в Евклидово пространство граница которого «достаточно регулярна» в том смысле, что ее можно рассматривать как локально являющуюся графиком Липшицева функция. Термин назван в честь Немецкий математик Рудольф Липшиц.

Определение

Позволять ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$. Позволять ${ displaystyle Omega}$ быть домен из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и разреши ${ displaystyle partial Omega}$ обозначить граница из ${ displaystyle Omega}$. потом ${ displaystyle Omega}$ называется Липшицевский домен если за каждую точку ${ displaystyle p in partial Omega}$ существует гиперплоскость ${ displaystyle H}$ измерения ${ displaystyle n-1}$ через ${ displaystyle p}$, липшицево-непрерывная функция ${ displaystyle g: H rightarrow mathbb {R}}$ над этой гиперплоскостью, и реальные ${ displaystyle r> 0}$ и ${ displaystyle h> 0}$ такой, что

• ${ Displaystyle Omega cap C = left {x + y { vec {n}} mid x in B_ {r} (p) cap H, -h$
• ${ Displaystyle ( partial Omega) cap C = left {x + y { vec {n}} mid x in B_ {r} (p) cap H, g (x) = y верно}}$

куда

${ displaystyle { vec {n}}}$ - единичный вектор, нормальный к ${ displaystyle H,}$

${ Displaystyle B_ {r} (p): = {x in mathbb {R} ^ {n} mid | x-p |$ открытый шар радиуса ${ displaystyle r}$,

${ Displaystyle C: = left {x + y { vec {n}} mid x in B_ {r} (p) cap H, -h$

Другими словами, в каждой точке его границы ${ displaystyle Omega}$ - локально множество точек, расположенных над графиком некоторой липшицевой функции.

Обобщение

Более общее понятие - это понятие слабо липшиц области, которые являются областями, граница которых локально плоская с помощью билипшицевого отображения. Липшицевы области в указанном выше смысле иногда называют сильно липшиц в отличие от слабо липшицевых областей.

Домен ${ displaystyle Omega}$ является слабо липшиц если за каждую точку ${ displaystyle p in partial Omega,}$ существует радиус ${ displaystyle r> 0}$ и карта ${ displaystyle l_ {p}: B_ {r} (p) rightarrow Q}$ такой, что

• ${ displaystyle l_ {p}}$ это биекция;
• ${ displaystyle l_ {p}}$ и ${ displaystyle l_ {p} ^ {- 1}}$ обе являются липшицевыми функциями;
• ${ displaystyle l_ {p} left ( partial Omega cap B_ {r} (p) right) = Q_ {0};}$
• ${ displaystyle l_ {p} left ( Omega cap B_ {r} (p) right) = Q _ {+};}$

куда ${ displaystyle Q}$ обозначает единичный шар ${ displaystyle B_ {1} (0)}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и

${ Displaystyle Q_ {0}: = {(x_ {1}, ldots, x_ {n}) in Q mid x_ {n} = 0 };}$

${ displaystyle Q _ {+}: = {(x_ {1}, ldots, x_ {n}) in Q mid x_ {n}> 0 }.}$

(Сильно) липшицева область всегда является слабо липшицевой, но обратное неверно. Пример слабо липшицевой области, которая не может быть сильно липшицевой областью, дается два кирпича домен ^[1]

Приложения липшицевых доменов

Многие из Теоремы вложения Соболева требуют, чтобы изучаемая область была липшицевой. Следовательно, многие уравнения в частных производных и вариационные задачи определены на липшицевых областях.

Рекомендации

• Дакорогна, Б. (2004). Введение в вариационное исчисление. Imperial College Press, Лондон. ISBN  1-86094-508-2.