Полукольцо журнала - Log semiring

В математика, в области тропический анализ, то бревенчатое полукольцо это полукольцо структура на логарифмическая шкала, полученная с учетом расширенные действительные числа так как логарифмы. То есть операции сложения и умножения определяются следующим образом: спряжение: возводить в степень действительные числа, получив положительное (или нулевое) число, сложите или умножьте эти числа с помощью обычных "линейных" операций над действительными числами, а затем возьмите логарифм чтобы отменить начальное возведение в степень. Как обычно в тропическом анализе, операции обозначаются символами и ⊗, чтобы отличать их от обычного сложения + и умножения × (или ⋅). Эти операции зависят от выбора базы $б$ для экспоненты и логарифма ( $б$ это выбор логарифмическая единица ), который соответствует масштабному коэффициенту и хорошо определен для любого положительного основания, кроме 1; используя базу $б < 1$ эквивалентно использованию отрицательного знака и обратного $1/ б > 1$ .^[а] Если не квалифицирован, базой обычно считается $е$ или $1/ е$ , что соответствует $е$ с негативом.

Бревенчатое полукольцо имеет тропическое полукольцо как предел ("тропикализация "," деквантование "), так как база уходит в бесконечность ${ displaystyle b to infty}$ (макс-плюс полукольцо ) или до нуля ${ displaystyle b to 0}$ (мин-плюс полукольцо ), и поэтому может рассматриваться как деформация («квантование») тропического полукольца. В частности, операция сложения, logadd (для нескольких условий, LogSumExp ) можно рассматривать как деформацию максимум или минимум. Полукольцо журнала имеет применения в математическая оптимизация, поскольку он заменяет негладкие максимум и минимум плавной операцией. Логарифмическое полукольцо возникает также при работе с числами, которые являются логарифмами (измеренными на логарифмическая шкала ), такие как децибелы (увидеть Децибел § Сложение ), логарифмическая вероятность, или логарифмическая вероятность.

Определение

Операции над полукольцом журнала можно определить внешне, отображая их на неотрицательные действительные числа, выполняя там операции и отображая их обратно. Неотрицательные действительные числа с обычными операциями сложения и умножения образуют полукольцо (нет минусов), известный как полукольцо вероятностей, поэтому операции полукольца журнала можно рассматривать как откаты операций над вероятностным полукольцом, а это изоморфный как кольца.

Формально с учетом расширенных вещественных чисел $р \cup {-\infty, +\infty$ }^[b] и база $б \neq 1$ , определяется:

{ displaystyle { begin {align} x oplus _ {b} y & = log _ {b} left (b ^ {x} + b ^ {y} right) x otimes _ {b} y & = log _ {b} left (b ^ {x} times b ^ {y} right) = log _ {b} left (b ^ {x + y} right) = x + y . end {выравнивается}}}

Обратите внимание, что независимо от основания, логарифмическое умножение такое же, как и обычное сложение, ${ displaystyle x otimes _ {b} y = x + y}$ , поскольку логарифмы переводят умножение к сложению; однако добавление журнала зависит от базы. Единицы для обычного сложения и умножения - 0 и 1; соответственно, единицей для добавления журнала является ${ displaystyle log _ {b} 0 = - infty}$ для ${ displaystyle b> 1}$ и ${ displaystyle log _ {b} 0 = - log _ {1 / b} 0 = + infty}$ для ${ displaystyle b <1}$ , а единицей логарифмического умножения является ${ displaystyle log 1 = 0}$ , вне зависимости от базы.

Более кратко, полукольцо единичного журнала можно определить для базового $е$ так как:

{ displaystyle { begin {align} x oplus y & = log left (e ^ {x} + e ^ {y} right) x otimes y & = x + y. end {align}} }

с блоком добавки $-\infty$ и мультипликативный блок 0; это соответствует максимальному соглашению.

Противоположное соглашение также распространено и соответствует основному $1/ е$ , минимальное соглашение:^[1]

{ displaystyle { begin {align} x oplus y & = - log left (e ^ {- x} + e ^ {- y} right) x otimes _ {b} y & = x + y . end {выравнивается}}}

с блоком добавки $+\infty$ и мультипликативный блок 0.

Свойства

Лог-полукольцо на самом деле полуполе, поскольку все числа кроме аддитивной единицы $-\infty$ (или $+\infty$ ) имеет мультипликативный обратный, заданный формулой ${ displaystyle -x,}$ поскольку ${ displaystyle x otimes -x = log _ {b} (b ^ {x} cdot b ^ {- x}) = log _ {b} (1) = 0.}$ Таким образом, логарифмическое деление ⊘ четко определено, хотя логарифмическое вычитание ⊖ не всегда определено.

А логарифмическое среднее может быть определен путем добавления журнала и разделения журнала (как квазиарифметическое среднее соответствующий логарифму), как

{ displaystyle M _ { mathrm {lm}} (x, y): = (x oplus y) oslash 2 = log _ {b} { bigl (} (b ^ {x} + b ^ {y) }) / 2 { bigr)} = log _ {b} (b ^ {x} + b ^ {y}) - log _ {b} 2 = (x oplus y) - log _ {b } 2.}

Обратите внимание, что это просто сложение, сдвинутое на ${ displaystyle - log _ {b} 2,}$ поскольку логарифмическое деление соответствует линейному вычитанию.

Лог-полукольцо имеет обычную евклидову метрику, которая соответствует логарифмическая шкала на положительные действительные числа.

Точно так же лог-полукольцо имеет обычные Мера Лебега, что является инвариантная мера относительно логарифмического умножения (обычное сложение, геометрический перенос) с соответствует логарифмическая мера на полукольцо вероятностей.

Смотрите также

Заметки

^ поскольку ${ displaystyle b ^ {- x} = left (b ^ {- 1} right) ^ {x} = (1 / b) ^ {x}}$
^ Обратите внимание, что обычно включается только одна бесконечность, а не обе, поскольку ${ Displaystyle infty otimes - infty = infty + (- infty)}$ является неоднозначным, и его лучше оставить неопределенным, как и 0/0 в действительных числах.

использованная литература

^ Лотар 2005, п. 211.

Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов. Энциклопедия математики и ее приложений. 105. Коллективная работа Жана Берштеля, Доминика Перрена, Максима Крошмора, Эрика Ляпорта, Мериара Мори, Нади Пизанти, Мари-Франс Саго, Гезин Райнерт, Софи Шбат, Майкл Уотерман, Филипп Жаке, Войцех Шпанковски, Доминик Пулалон, Жиль Шеффер, Роман Колпаков, Грегори Кушеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067.

[1] поскольку ${ displaystyle b ^ {- x} = left (b ^ {- 1} right) ^ {x} = (1 / b) ^ {x}}$

[2] Обратите внимание, что обычно включается только одна бесконечность, а не обе, поскольку ${ Displaystyle infty otimes - infty = infty + (- infty)}$ является неоднозначным, и его лучше оставить неопределенным, как и 0/0 в действительных числах.

[FOOTNOTELothaire2005211-3] Лотар 2005, п. 211.

[а]

[b]

[1]