Логарифм Зекса - Википедия - Zechs logarithm

Логарифмы Зеха используются для добавления в конечные поля когда элементы представлены как мощности генератора ${ displaystyle alpha}$.

Логарифмы Зеха названы в честь Юлий Зех,^[1][2][3][4] и также называются Логарифмы Якоби,^[5] после Карл Дж. Дж. Якоби кто использовал их для теоретико-числовой расследования.^[6]

Определение

Учитывая примитивный элемент ${ displaystyle alpha}$ конечного поля, логарифм Цеха относительно основания ${ displaystyle alpha}$ определяется уравнением

${ Displaystyle Z _ { альфа} (п) = журнал _ { альфа} (1+ альфа ^ {п}),}$

или эквивалентно

${ displaystyle alpha ^ {Z _ { alpha} (n)} = 1+ alpha ^ {n}.}$

Выбор базы ${ displaystyle alpha}$ обычно исключается из обозначений, когда это ясно из контекста.

Если быть более точным, ${ displaystyle Z _ { alpha}}$ является функцией от целых чисел по модулю мультипликативного порядка ${ displaystyle alpha}$, и принимает значения из того же набора. Для описания каждого элемента удобно формально добавить новый символ. ${ displaystyle - infty}$, вместе с определениями

${ displaystyle alpha ^ {- infty} = 0}$

${ Displaystyle п + (- infty) = - infty}$

${ Displaystyle Z _ { альфа} (- infty) = 0}$

${ Displaystyle Z _ { альфа} (е) = - infty}$

куда ${ displaystyle e}$ целое число, удовлетворяющее ${ displaystyle alpha ^ {e} = - 1}$, то есть ${ displaystyle e = 0}$ для поля характеристики 2 и ${ displaystyle e = { frac {q-1} {2}}}$ для поля нечетной характеристики с ${ displaystyle q}$ элементы.

Используя логарифм Зеха, арифметика конечных полей может быть выполнена в экспоненциальном представлении:

${ displaystyle alpha ^ {m} + alpha ^ {n} = alpha ^ {m} cdot (1+ alpha ^ {nm}) = alpha ^ {m} cdot alpha ^ {Z ( нм)} = альфа ^ {m + Z (нм)}}$

${ displaystyle - alpha ^ {n} = (- 1) cdot alpha ^ {n} = alpha ^ {e} cdot alpha ^ {n} = alpha ^ {e + n}}$

${ Displaystyle альфа ^ {м} - альфа ^ {п} = альфа ^ {м} + (- альфа ^ {п}) = альфа ^ {м + Z (е + п-м)}}$

${ Displaystyle альфа ^ {м} CDOT альфа ^ {п} = альфа ^ {м + п}}$

${ displaystyle left ( alpha ^ {m} right) ^ {- 1} = alpha ^ {- m}}$

${ displaystyle alpha ^ {m} / alpha ^ {n} = alpha ^ {m} cdot left ( alpha ^ {n} right) ^ {- 1} = alpha ^ {m-n}}$

Эти формулы остаются верными с нашими соглашениями с символом ${ displaystyle - infty}$, с оговоркой, что вычитание ${ displaystyle - infty}$ не определено. В частности, формулы сложения и вычитания необходимо рассматривать ${ Displaystyle м = - infty}$ как частный случай.

Это можно распространить на арифметику проективная линия введя еще один символ ${ displaystyle + infty}$ удовлетворение ${ Displaystyle альфа ^ {+ infty} = infty}$ и другие правила по мере необходимости.

Обратите внимание, что для полей характеристики два,

${ Displaystyle Z _ { альфа} (п) = м}$ ⇔ ${ Displaystyle Z _ { альфа} (т) = п}$.

Использует

Для достаточно малых конечных полей таблица логарифмов Зека позволяет особенно эффективно реализовать всю арифметику конечных полей с точки зрения небольшого числа целочисленных сложений / вычитаний и поиска в таблице.

Полезность этого метода уменьшается для больших полей, где невозможно эффективно хранить таблицу. Этот метод также неэффективен при выполнении очень небольшого числа операций в конечном поле, поскольку на вычисление таблицы уходит больше времени, чем на фактическое вычисление.

Примеры

Позволять α ∈ GF (2³) быть корнем примитивный многочлен Икс³ + Икс² + 1. Традиционное представление элементов этого поля - полиномы от α степени 2 или меньше.

Таблица логарифмов Заха для этого поля: Z(−∞) = 0, Z(0) = −∞, Z(1) = 5, Z(2) = 3, Z(3) = 2, Z(4) = 6, Z(5) = 1, и Z(6) = 4. Мультипликативный порядок α равно 7, поэтому экспоненциальное представление работает с целыми числами по модулю 7.

С α это корень Икс³ + Икс² + 1 тогда это означает α³ + α² + 1 = 0, или если вспомнить, что, поскольку все коэффициенты находятся в GF (2), вычитание аналогично сложению, получаем α³ = α² + 1.

Преобразование от экспоненциального к полиномиальному представлению дается формулой

${ Displaystyle альфа ^ {3} = альфа ^ {2} +1}$ (как показано выше)

${ Displaystyle альфа ^ {4} = альфа ^ {3} альфа = ( альфа ^ {2} +1) альфа = альфа ^ {3} + альфа = альфа ^ {2} + альфа +1}$

${ Displaystyle альфа ^ {5} = альфа ^ {4} альфа = ( альфа ^ {2} + альфа +1) альфа = альфа ^ {3} + альфа ^ {2} + альфа = альфа ^ {2} +1+ альфа ^ {2} + альфа = альфа +1}$

${ Displaystyle альфа ^ {6} = альфа ^ {5} альфа = ( альфа +1) альфа = альфа ^ {2} + альфа}$

Использование логарифмов Зеха для вычислений α⁶ + α³:

${ Displaystyle альфа ^ {6} + альфа ^ {3} = альфа ^ {6 + Z (-3)} = альфа ^ {6 + Z (4)} = альфа ^ {6 + 6} = alpha ^ {12} = alpha ^ {5}}$,

или, что более эффективно,

${ Displaystyle альфа ^ {6} + альфа ^ {3} = альфа ^ {3 + Z (3)} = альфа ^ {3 + 2} = альфа ^ {5}}$,

и проверив его в полиномиальном представлении:

${ Displaystyle альфа ^ {6} + альфа ^ {3} = ( альфа ^ {2} + альфа) + ( альфа ^ {2} +1) = альфа + 1 = альфа ^ {5 }}$.

Смотрите также

• Гауссовский логарифм
• Ирландский логарифм, подобный метод получен эмпирически Перси Ладгейтом.
• Конечнопольная арифметика
• Таблица логарифмов

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Флетчер, Алан; Миллер, Джеффри Чарльз Перси; Розенхед, Луи (1946) [1943]. Указатель математических таблиц (1-е изд.). Blackwell Scientific Publications Ltd., Оксфорд / Макгроу-Хилл, Нью-Йорк.
• Конвей, Джон Хортон (1968). Черчхаус, Роберт Ф .; Herz, J.-C. (ред.). «Таблица некоторой информации о конечных полях». Компьютеры в математических исследованиях. Амстердам: Издательская компания Северной Голландии: 37–50. МИСТЕР  0237467.
• Лам, Клемент Винг Хонг; Маккей, Джон К. С. (1973-11-01). «Алгоритм 469: Арифметика над конечным полем [A1]». Коммуникации ACM. Собраны алгоритмы ACM (CALGO). Ассоциация вычислительной техники (ACM). 16 (11): 699. Дои:10.1145/355611.362544. ISSN  0001-0782. S2CID  62794130. Томы / 469. [1] [2] [3]
• Кюн, Клаус (2008). "C. F. Gauß und die Logarithmen" (PDF) (на немецком). Аллинг-Бибург, Германия. В архиве (PDF) из оригинала на 2018-07-14. Получено 2018-07-14.