Симметризация - Symmetrization

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Симметризация»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, симметризация это процесс, который преобразует любые функция в п переменные в симметричная функция в п переменные. антисимметризация преобразует любую функцию в п переменные в антисимметричный функция.

Две переменные

Позволять ${displaystyle S}$ быть набор и ${displaystyle A}$ ан абелева группа. Карта ${displaystyle alpha двоеточие S imes S o A}$ ${displaystyle alpha}$ называется симметричный если ${displaystyle alpha (s, t) = alpha (t, s)}$ для всех ${displaystyle s, tin S}$.

В симметризация карты ${displaystyle alpha двоеточие S imes S o A}$ это карта ${displaystyle (x, y) mapsto alpha (x, y) + alpha (y, x)}$.

Точно так же антисимметризация или же кососимметризация карты ${displaystyle alpha двоеточие S imes S o A}$ это карта ${displaystyle (x, y) mapsto alpha (x, y) -alpha (y, x)}$.

Сумма симметризации и антисимметризации карты α 2α.Таким образом, от 2, что означает, что если 2 обратимый, например, для действительные числа, можно разделить на 2 и выразить каждую функцию как сумму симметричной функции и антисимметричной функции.

Симметризация симметричного отображения - это его дубль, а симметризация чередующаяся карта равно нулю; аналогично антисимметризация симметричного отображения равна нулю, в то время как антисимметризация антисимметричного отображения является его двойником.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейная карта билинейные; таким образом, в отличие от 2, каждая билинейная форма является суммой симметричной формы и кососимметричной формы, поэтому нет никакой разницы между симметричной формой и квадратичной формой.

На этапе 2 не каждую форму можно разложить на симметричную форму и кососимметричную форму. Например, над целые числа, ассоциированная симметричная форма (над рациональные ) может принимать полуцелые значения, а более ${displaystyle mathbf {Z} / 2mathbf {Z},}$ функция кососимметрична тогда и только тогда, когда она симметрична (как 1 = −1).

Это приводит к понятию ε-квадратичные формы и ε-симметричные формы.

Теория представлений

С точки зрения теория представлений:

• обмен переменными дает представление о симметричная группа на пространстве функций двух переменных,
• симметричная и антисимметричная функции - это субпредставления соответствующий тривиальное представление и знаковое представление, и
• симметризация и антисимметризация отображают функцию в эти подпредставления - если один делит на 2, они дают карты проекции.

Поскольку симметрическая группа второго порядка равна циклическая группа второго порядка (${displaystyle mathrm {S} _ {2} = mathrm {C} _ {2}}$), это соответствует дискретное преобразование Фурье второго порядка.

п переменные

В более общем смысле, учитывая функцию в п переменных, можно симметризовать, взяв сумму по всем ${displaystyle n!}$ перестановки переменных,^[1] или антисимметрично, взяв сумму по всем ${displaystyle n! / 2}$ даже перестановки и вычитая сумму по всем ${displaystyle n! / 2}$ нечетные перестановки (кроме тех случаев, когда п ≤ 1, единственная перестановка четная).

Здесь симметризация симметричной функции умножается на ${displaystyle n!}$ - таким образом, если ${displaystyle n!}$ обратим, например, при работе над поле из характеристика ${displaystyle 0}$ или же ${displaystyle p> n}$, то эти прогнозы доходности при делении на ${displaystyle n!}$.

С точки зрения теории представлений, они дают только подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому представлению, но для ${displaystyle n> 2}$ есть и другие - смотри теория представлений симметрической группы и симметричные многочлены.

Начальная загрузка

Учитывая функцию в k переменных, можно получить симметричную функцию от п переменных, суммируя k-элемент подмножества переменных. В статистике это называется самонастройка, а соответствующая статистика называется U-статистика.

Примечания

Рекомендации

• Хазевинкель, Михиэль (1990). Энциклопедия математики: обновленный и аннотированный перевод советской "Математической энциклопедии". Энциклопедия математики. 6. Springer. ISBN  978-1-55608-005-0.