Теорема ОН-Скотта - Википедия - ONan–Scott theorem

В математике Теорема О'Нана – Скотта одна из самых влиятельных теорем группа перестановок теория; классификация конечные простые группы вот что делает его таким полезным. Первоначально теорема была о максимальные подгруппы из симметричная группа. Оно появилось как приложение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции по конечным группам в Санта-Крус в 1979 году, с примечанием, что Майкл О'Нан независимо доказали тот же результат.[1] Михаэль Ашбахер а позже Скотт дал исправленную версию формулировки теоремы.[2]

Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы Sym (Ω), где | Ω | знак равно п является одним из следующих:

  1. Sk × Sn − k стабилизатор k-set (то есть непереходный)
  2. Sаписать Sб с п = ab, стабилизатор раздел в б части размера а (то есть импримитивный)
  3. примитивный (то есть не сохраняет нетривиальное разбиение) и одного из следующих типов:

В обзорной статье, написанной для Бюллетень Лондонского математического общества, Питер Дж. Кэмерон похоже, был первым, кто осознал, что реальная сила теоремы О'Нана – Скотта заключается в способности разбивать конечные примитивные группы на различные типы.[3]Полную версию теоремы с самостоятельным доказательством дал М. В. Либек, Шерил Прэгер и Ян Саксл.[4] Теорема стала стандартной частью учебников по группам подстановок.[5]

Типы О'Нана – Скотта

Вот восемь типов О'Нана – Скотта:

HA (голоморф абелевой группы): Это примитивные группы, которые являются подгруппами аффинной общей линейной группы AGL (d,п), для некоторых простых п и положительное целое число d ≥ 1. Для такой группы грамм чтобы быть примитивным, он должен содержать подгруппу всех переводов и стабилизатор грамм0 в грамм нулевого вектора должна быть неприводимой подгруппой в GL (d, p). Примитивные группы типа HA характеризуются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарной абелевой и действует регулярно.

HS (голоморф простой группы): Позволять Т - конечная неабелева простая группа. потом M = Т×Т действует на Ω =Т к т(т1,т2) = т1−1тт2. Сейчас же M имеет две минимальные нормальные подгруппы N1, N2, каждая изоморфна Т и каждый из них регулярно действует на Ω, одно умножением справа, а другое умножением слева. Действие M примитивен, и если мы возьмем α = 1Т у нас есть Mα = {(т,т)|т ∈ Т}, который включает Inn (Т) на Ω. Фактически любой автоморфизм из Т будет действовать на Ω. Тогда примитивной группой типа HS является любая группа грамм такой, что M ≅ Т.Гостиница(Т) ≤ грамм ≤ Т.Aut (Т). Все такие группы имеют N1 и N2 как минимальные нормальные подгруппы.

HC (голоморф составной группы): Позволять Т - неабелева простая группа и пусть N1 ≅ N2 ≅ Тk для некоторого целого числа k ≥ 2. Пусть Ω = Тk. потом M = N1 × N2 действует транзитивно на Ω посредством Икс(п1,п2) = п1−1xn2 для всех Икс ∈ Ω, п1 ∈ N1, п2 ∈ N2. Как и в случае HS, имеем M ≅ Тk.Гостиница(Тk) и любой автоморфизм Тk действует и на Ω. Примитивная группа типа HC - это группа грамм такой, что M ≤ грамм ≤ Тk.Aut (Тk)и грамм индуцирует подгруппу Aut (Тk) = Aut (Т) wrSk который действует транзитивно на множестве k простые прямые факторы Тk. Любая такая грамм имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая изоморфная Тk и обычный.

Группа типа HC сохраняет структуру произведения Ω = ∆k где Δ = Т и грамм≤ ЧАСписатьSk куда ЧАС примитивная группа типа HS на Δ.

TW (витой венок): Здесь грамм имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и N ≅ Тk для некоторой конечной неабелевой простой группы Т и N действует регулярно на Ω. Такие группы могут быть построены как скрученные сплетения и, следовательно, метка TW. Из условий, необходимых для получения примитивности, следует, что k≥ 6, поэтому наименьшая степень такой примитивной группы равна 606 .

КАК (почти простой): Здесь грамм группа, лежащая между Т и Aut (Т ), то есть, грамм это почти простая группа, и поэтому название. Нам ничего не говорят о том, что это за действие, кроме того, что оно примитивно. Анализ этого типа требует знания возможных примитивных действий почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.

SD (простая диагональ): Позволять N = Тk для некоторой неабелевой простой группы Т и целое число k ≥ 2 и пусть ЧАС = {(т, ..., т)| т ∈ Т} ≤ N. потом N действует на множестве Ω правых классов смежности ЧАС в N умножением справа. Мы можем взять {(т1,...,тk−1, 1)| тя ∈ Т} как набор представителей смежных классов для ЧАС в N и поэтому мы можем отождествить Ω с Тk−1. Сейчас же (s1,...,sk) ∈ N берет смежный класс с представителем (т1,...,тk−1, 1) смежному классу ЧАС(т1s1,...,тk−1sk−1, sk) = ЧАС(sk−1тks1,...,sk−1тk−1sk−1, 1) Группа Sk индуцирует автоморфизмы N путем перестановки записей и фиксирует подгруппу ЧАС и так действует на множестве Ω. Также обратите внимание, что ЧАС действует на Ω, индуцируя Inn (Т) и фактически любой автоморфизм σ Т действует на Ω, взяв смежный класс с представителем (т1,...,тk−1, 1) смежному классу с представителем (т1σ,...,тk−1σ, 1). Таким образом мы получаем группу W = N.(Из(Т) × Sk) ≤ Sym (Ω). Примитивная группа типа SD - это группа грамм ≤ W такой, что N ◅ грамм и грамм индуцирует примитивную подгруппу в Sk на k простые прямые факторы N.

CD (составная диагональ): Здесь Ω = Δk и грамм ≤ ЧАСписатьSk куда ЧАС примитивная группа типа SD на Δ с минимальной нормальной подгруппой Тл. Более того, N = Тkl - минимальная нормальная подгруппа группы грамм и грамм индуцирует транзитивную подгруппу в Sk.

ПА (действие продукта): Здесь Ω = Δk и грамм ≤ ЧАСписатьSk куда ЧАС примитивная почти простая группа на с цоколь Т. Таким образом грамм имеет действие произведения на Ω. Более того, N = Тk ◅ грамм и грамм индуцирует транзитивную подгруппу в Sk в своем действии на k простые прямые факторы Н.

Некоторые авторы используют разные разделения типов. Наиболее распространенным является включение типов HS и SD вместе как «диагональный тип» и типов HC, CD и PA вместе как «тип действия продукта».[6] Позже Прэгер обобщил теорему О’Нана – Скотта на квазипримитивные группы (группы с точными действиями, при которых ограничение на любую нетривиальную нормальную подгруппу транзитивно).[7]

Рекомендации

  1. ^ Скотт, Леонард (1980). "Представления в характеристике п". Конференция Санта-Крус по конечным группам (Калифорнийский университет, Санта-Крус, Калифорния, 1979). Труды симпозиумов по чистой математике. 37. Американское математическое общество. С. 319–331. ISBN  978-0-8218-1440-6.
  2. ^ Ашбахер, Майкл Г .; Скотт, Леонард Л. (1985). «Максимальные подгруппы конечных групп». Журнал алгебры. 92 (1): 44–80.
  3. ^ Кэмерон, Питер Дж. (1981). «Конечные группы подстановок и конечные простые группы». Бык. Лондонская математика. Soc. Дои:10.1112 / blms / 13.1.1.
  4. ^ Liebeck, Martin W .; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (1988). "О теореме О'Нана Скотта для примитивных групп перестановок". J. Austral. Математика. Soc. Дои:10.1017 / S144678870003216X. Получено 2013-04-24.
  5. ^ Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан К. (1996). Группы перестановок. Тексты для выпускников по математике. 163. Springer Verlag. ISBN  0-387-94599-7.
  6. ^ Джудичи, Майкл. «Теорема О'Нана – Скотта». Получено 24 апреля 2013.
  7. ^ Прэгер, Шерил Э. (1993). «Теорема О'Нана – Скотта для конечных квазипримитивных групп перестановок и приложение к 2-дуговым транзитивным графам». Журнал Лондонского математического общества. s2-47 (2): 227–239. Дои:10.1112 / jlms / s2-47.2.227.

внешняя ссылка