Примитивная группа перестановок - Primitive permutation group

В математика, а группа перестановок г играет роль на непустом конечном множестве Икс называется примитивный если г действует переходно на Икс и г не сохраняет нетривиальных раздел из Икс, где нетривиальное разделение означает раздел, который не является разделом на одноэлементные множества или разделением на один набор Икс. В противном случае, если г транзитивен и г сохраняет нетривиальное разбиение, г называется непристойный.

Хотя примитивные группы перестановок транзитивны по определению, не все транзитивные группы перестановок примитивны. Требование транзитивности примитивной группы необходимо только тогда, когда Икс это 2-элементный набор, и действие тривиально; в противном случае условие, что г не сохраняет нетривиального разбиения, следует, что г транзитивен. Это потому, что для нетранзитивных действий либо орбиты из г образуют нетривиальное разбиение, сохраняемое г, либо действие группы тривиально, и в этом случае любое нетривиальное разбиение Икс (который существует для |Икс|≥3) сохраняется г.

Эта терминология была введена Эварист Галуа в своем последнем письме, в котором он использовал французский термин примитивное уравнение для уравнения, Группа Галуа примитивен.^[1]

В том же письме он сформулировал также следующую теорему.

Если г примитивный разрешимая группа действующий на конечном множестве Икс, то порядок Икс это сила простое число п, Икс может быть отождествлен с аффинное пространство над конечное поле с участием п элементы и г действует на Икс как подгруппа аффинная группа.

Импримитивная группа перестановок является примером индуцированное представление; примеры включают смежный представления г/ЧАС в случаях, когда ЧАС это не максимальная подгруппа. Когда ЧАС максимальное, смежное представление примитивно.

Если набор Икс конечна, ее мощность называется степень из г. Количество примитивных групп малой степени определялось Роберт Кармайкл в 1937 г .:

Существует большое количество примитивных групп степени 16. Как отмечает Кармайкл, все эти группы, за исключением симметричный и чередование группы, являются подгруппами аффинная группа на 4-мерном пространстве над 2-элементным конечное поле.

Примеры

• Рассмотрим симметричная группа ${ displaystyle S_ {3}}$ действующий на съемочной площадке ${ Displaystyle X = {1,2,3 }}$ и перестановка

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 end {pmatrix}}.}$

И то и другое ${ displaystyle S_ {3}}$ и группа, порожденная ${ displaystyle eta}$ примитивны.

• Теперь рассмотрим симметричная группа ${ displaystyle S_ {4}}$ действующий на съемочной площадке ${ displaystyle {1,2,3,4 }}$ и перестановка

${ displaystyle sigma = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 2 & 3 & 4 & 1 end {pmatrix}}.}$

Группа, созданная ${ displaystyle sigma}$ не примитивен, так как раздел ${ displaystyle (X_ {1}, X_ {2})}$ где ${ Displaystyle X_ {1} = {1,3 }}$ и ${ Displaystyle X_ {2} = {2,4 }}$ сохраняется под ${ displaystyle sigma}$, т.е. ${ Displaystyle sigma (X_ {1}) = X_ {2}}$ и ${ Displaystyle sigma (X_ {2}) = X_ {1}}$.

• Каждая транзитивная группа простой степени примитивна
• В симметричная группа ${ displaystyle S_ {n}}$ действующий на съемочной площадке ${ Displaystyle {1, ldots, п }}$ примитивен для каждого п и переменная группа ${ displaystyle A_ {n}}$ действующий на съемочной площадке ${ Displaystyle {1, ldots, п }}$ примитивен для каждогоп > 2.

Смотрите также

• Блок (теория групп перестановок)
• Теорема Жордана (симметрическая группа)

использованная литература

• Рони-Дугал, Колва М. Примитивные группы перестановок степени меньше 2500, Журнал алгебры 292 (2005), нет. 1, 154–183.
• В GAP Библиотека данных "Примитивные группы перестановок".
• Кармайкл, Роберт Д., Введение в теорию групп конечного порядка. Джинн, Бостон, 1937. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1956.
• Тодд Роуленд. «Примитивное групповое действие». MathWorld.