Блок (теория групп перестановок) - Block (permutation group theory)
 | Эта статья не цитировать любой источники. (Июнь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика и теория групп, а блочная система для действие из группа грамм на набор Икс это раздел из Икс то есть грамм-инвариантный. С точки зрения связанных отношение эквивалентности на Икс, грамм-инвариантность означает, что
- Икс ~ у подразумевает gx ~ гы
для всех грамм ∈ грамм и все Икс, у ∈ Икс. Действие грамм на Икс вызывает естественное действие грамм на любой блочной системе для Икс.
Набор орбиты из грамм-набор Икс это пример блочной системы. Соответствующее отношение эквивалентности является наименьшим грамм-инвариантная эквивалентность на Икс такое, что индуцированное действие на блочную систему тривиально.
Разделение на одиночные наборы является блочной системой и если Икс непусто, то разбиение на один набор Икс сама по себе также является блочной системой (если Икс является одноэлементным набором, тогда эти два раздела идентичны). А переходный (и, следовательно, непустой) грамм-набор Икс как говорят примитивный если в нем нет других блочных систем. Для непустого грамм-набор Икс требование транзитивности в предыдущем определении необходимо только в случае, когда |Икс|=2 и действие группы тривиально.
Характеристика блоков
Каждый элемент некоторой блочной системы называется блокировать. Блок можно охарактеризовать как непустой подмножество B из Икс такой, что для всех грамм ∈ грамм, либо
- ГБ = B (грамм исправления B) или же
- ГБ ∩ B = ∅ (грамм движется B полностью).
Доказательство: Предположить, что B это блок, а для некоторых грамм ∈ грамм это ГБ ∩ B ≠ ∅. Тогда для некоторых Икс ∈ B это gx ~ Икс. Позволять у ∈ B, тогда Икс ~ у и из грамм-инвариантности следует, что gx ~ гы. Таким образом у ~ гы и так ГБ ⊆ B. Условие gx ~ Икс также подразумевает Икс ~ грамм−1Икс, и тем же методом следует, что грамм−1B ⊆ B, и поэтому B ⊆ ГБ. В обратном направлении, если набор B удовлетворяет данному условию, то система {ГБ | грамм ∈ грамм} вместе с дополнением к объединению этих множеств представляет собой блочную систему, содержащую B.
В частности, если B это блок, тогда ГБ блок для любого грамм ∈ грамм, и если грамм действует транзитивно на Икс тогда множество {ГБ | грамм ∈ грамм} - это блочная система на Икс.
Стабилизаторы блоков
Если B это блок, стабилизатор из B это подгруппа
- граммB = { грамм ∈ грамм | ГБ = B }.
Стабилизатор блока содержит стабилизатор граммИкс каждого из его элементов. Наоборот, если Икс ∈ Икс и ЧАС является подгруппой грамм содержащий граммИкс, то орбита ЧАС.Икс из Икс под ЧАС блок, содержащийся на орбите грамм.Икс и содержащий Икс.
Для любого Икс ∈ Икс, блокировать B содержащий Икс и подгруппа ЧАС ⊆ грамм содержащий граммИкс это граммB.Икс = B ∩ грамм.Икс и граммЧАС.Икс = ЧАС.
Отсюда следует, что блоки, содержащие Икс и содержится в грамм.Икс находятся в индивидуальная переписка с подгруппами грамм содержащий граммИкс. В частности, если грамм-набор Икс транзитивно, то блоки, содержащие Икс находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами грамм содержащий граммИкс. В этом случае грамм-набор Икс примитивно тогда и только тогда, когда либо действие группы тривиально (тогда Икс = {Икс}) или стабилизатор граммИкс это максимальная подгруппа из грамм (тогда стабилизаторы всех элементов Икс - максимальные подгруппы грамм сопрягать к граммИкс потому что граммgx = грамм ⋅ граммИкс ⋅ грамм−1).