Теорема Басуса - Википедия - Basus theorem

В статистика, Теорема Басу заявляет, что любой ограниченно полный минимальный достаточная статистика является независимый любой вспомогательная статистика. Это результат 1955 года Дебабрата Басу.^[1]

Его часто используют в статистике как инструмент для доказательства независимости двух статистик, сначала демонстрируя, что одна из них является полной, а другая - вспомогательной, а затем апеллируют к теореме.^[2] Примером этого является демонстрация того, что выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения являются независимыми статистическими данными, что выполняется в Пример раздел ниже. Это свойство (независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии) характеризует нормальные распределения.

Заявление

Позволять ${ Displaystyle (P _ { theta}; theta in Theta)}$ быть семейством дистрибутивов на измеримое пространство ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ и ${ displaystyle T, A}$ измеримые карты из ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ в какое-то измеримое пространство ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ . (Такие карты называются статистика.) Если ${ displaystyle T}$ является ограниченно полной достаточной статистикой для ${ displaystyle theta}$ , и ${ displaystyle A}$ является вспомогательным для ${ displaystyle theta}$ , тогда ${ displaystyle T}$ не зависит от ${ displaystyle A}$ .

Доказательство

Позволять ${ Displaystyle P _ { theta} ^ {T}}$ и ${ Displaystyle P _ { theta} ^ {A}}$ быть маржинальные распределения из ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle A}$ соответственно.

Обозначим через ${ Displaystyle А ^ {- 1} (В)}$ то прообраз набора ${ displaystyle B}$ под картой ${ displaystyle A}$ . Для любого измеримого множества ${ displaystyle B in { mathcal {B}}}$ у нас есть

{ Displaystyle P _ { theta} ^ {A} (B) = P _ { theta} (A ^ {- 1} (B)) = int _ {Y} P _ { theta} (A ^ {- 1 } (B) mid T = t) P _ { theta} ^ {T} (dt).}

Распространение ${ displaystyle P _ { theta} ^ {A}}$ не зависит от ${ displaystyle theta}$ потому что ${ displaystyle A}$ является вспомогательным. Так же, ${ Displaystyle P _ { theta} ( cdot mid T = t)}$ не зависит от ${ displaystyle theta}$ потому что ${ displaystyle T}$ достаточно. Следовательно

{ Displaystyle int _ {Y} { big [} P (A ^ {- 1} (B) mid T = t) -P ^ {A} (B) { big]} P _ { theta } ^ {T} (dt) = 0.}

Обратите внимание, что подынтегральное выражение (функция внутри интеграла) является функцией ${ displaystyle t}$ и нет ${ displaystyle theta}$ . Следовательно, поскольку ${ displaystyle T}$ является ограниченно полной функцией

{ displaystyle g (t) = P (A ^ {- 1} (B) mid T = t) -P ^ {A} (B)}

равен нулю для ${ Displaystyle P _ { theta} ^ {T}}$ почти все значения ${ displaystyle t}$ и поэтому

{ Displaystyle P (A ^ {- 1} (B) mid T = t) = P ^ {A} (B)}

почти для всех ${ displaystyle t}$ . Следовательно, ${ displaystyle A}$ не зависит от ${ displaystyle T}$ .

Пример

Независимость выборочного среднего и выборочной дисперсии нормального распределения (известная дисперсия)

Позволять Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п быть независимые, одинаково распределенные нормальный случайные переменные с иметь в виду μ и отклонение σ².

Тогда по параметру μ, можно показать, что

{ displaystyle { widehat { mu}} = { frac { sum X_ {i}} {n}},}

выборочное среднее - это полная достаточная статистика - это вся информация, которую можно получить для оценки μ, и не более - и

{ displaystyle { widehat { sigma}} ^ {2} = { frac { sum left (X_ {i} - { bar {X}} right) ^ {2}} {n-1} },}

дисперсия выборки, является вспомогательной статистикой - ее распределение не зависит от μ.

Следовательно, из теоремы Басу следует, что эти статистики независимы.

Этот результат независимости также может быть доказан Теорема Кохрана.

Кроме того, это свойство (выборочное среднее и выборочная дисперсия нормального распределения независимы) характеризует нормальное распределение - ни одно другое распределение не обладает этим свойством.^[3]

Примечания

^ Басу (1955)
^ Гош (малайский); Мухопадхьяй, Нитис; Сен, Пранаб Кумар (2011), Последовательная оценка, Серия Уайли по вероятности и статистике, 904, John Wiley & Sons, стр. 80, ISBN 9781118165911, Следующая теорема, принадлежащая Басу ... помогает нам доказать независимость между определенными типами статистик, фактически не выводя совместное и предельное распределение задействованных статистических данных. Это очень мощный инструмент, и его часто используют ...
^ Гири, Р. (1936). «Распределение« коэффициента студента »для нестандартных выборок». Приложение к Журналу Королевского статистического общества. 3 (2): 178–184. Дои:10.2307/2983669. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669.