Формула Марграбса - Википедия - Margrabes formula

В математические финансы, Формула марграбе^[1] является вариант формула ценообразования, применимая к опциону на обмен одного рискованного актива на другой рискованный актив при наступлении срока погашения. Это было получено Уильям Марграб (Доктор философии в Чикаго) в 1978 году. Статья Марграб была процитирована в более чем 2000 последующих статьях.^[2]

Формула

Предполагать S₁(т) и S₂(т) цены двух рискованных активов одновременно т, и что каждый имеет постоянную непрерывную дивидендную доходность q_я. Опция, C, которое мы хотим установить, дает покупателю право, но не обязанность, обменять второй актив на первый в момент погашения. Т. Другими словами, его выигрыш, С (Т), является max (0, S₁(Т) - S₂(Т)).

Если волатильность S_я есть σ_я, тогда ${ displaystyle textstyle sigma = { sqrt { sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {2} ^ {2} -2 sigma _ {1} sigma _ {2} rho} }}$, куда ρ - коэффициент корреляции Пирсона броуновских движений S_я с.

Формула Марграбе утверждает, что справедливая цена опциона в момент времени 0 равна:

${ displaystyle e ^ {- q_ {1} T} S_ {1} (0) N (d_ {1}) - e ^ {- q_ {2} T} S_ {2} (0) N (d_ {2 })}$

куда:

${ displaystyle q_ {1}, q_ {2}}$ ожидаемые ставки дивидендов от цен ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ при соответствующей нейтральной с точки зрения риска мере,

${ displaystyle N}$ обозначает кумулятивная функция распределения для стандартный нормальный,

${ Displaystyle d_ {1} = ( ln (S_ {1} (0) / S_ {2} (0)) + (q_ {2} -q_ {1} + sigma ^ {2} / 2) т ) / sigma { sqrt {T}}}$,

${ displaystyle d_ {2} = d_ {1} - sigma { sqrt {T}}}$.

Вывод

Модель рынка Марграбе предполагает наличие только двух рискованных активов, цены которых, как обычно, предполагаются геометрическое броуновское движение. Необязательно, чтобы волатильность этих броуновских движений была постоянной, но важно, чтобы волатильность S₁/ S₂, σ, постоянно. В частности, модель не предполагает существования безрискового актива (такого как бескупонная облигация ) или любой другой процентная ставка. Модель не требует эквивалентной нейтральной по отношению к риску вероятностной меры, но эквивалентной меры в соответствии с S₂.

Формула быстро доказано сводя ситуацию к той, в которой мы можем применить Формула Блэка-Шоулза.

• Во-первых, рассмотрим оба актива, оцененные в единицах S₂ (это называется "использование S₂ в качестве счетчик '); это означает, что теперь имеющаяся единица первого актива стоит S₁/ S₂ единиц второго актива, а единица второго актива стоит 1.
• В соответствии с этим изменением ценовой политики второй актив теперь является безрисковым, и его дивидендная ставка q₂ это процентная ставка. Выплата по опциону с переоценкой в ​​соответствии с этим изменением числительного составляет max (0, S₁(Т) / С₂(Т) - 1).
• Так оригинальный вариант превратился в опцион колл по первому активу (с его числовой ценой) со страйком в 1 единицу безрискового актива. Обратите внимание на размер дивидендов q₁ первого актива остается неизменным даже при изменении ценообразования.
• Применяя Формула Блэка-Шоулза с этими значениями в качестве соответствующих входных данных, например начальная стоимость актива S₁(0) / S₂(0), процентная ставка q₂, волатильность σи т. д., дает нам цену опциона согласно расчетным ценам.
• Поскольку итоговая цена опциона выражается в единицах S₂, умножая на S₂(0) отменит изменение числительного и даст нам цену в нашей исходной валюте, которая является формулой выше. Как вариант, можно показать его Теорема Гирсанова.

Внешние ссылки и ссылки

Примечания

Первичная ссылка

• Уильям Марграб, «Ценность возможности обмена одного актива на другой», Журнал финансов, Vol. 33, No. 1, (март 1978), стр. 177-186.

Обсуждение

• Марк Дэвис, Имперский колледж Лондона, Варианты с несколькими активами
• Рольф Поульсен, Гетеборгский университет, Формула Марграбе