Черная модель - Black model

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Март 2013 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Черная модель (иногда известный как Модель Black-76) является вариантом Блэк – Скоулз модель ценообразования опционов. Его основные приложения - это варианты ценообразования на будущие контракты, опционы на облигации, верхняя и нижняя границы процентных ставок, и обмены. Впервые он был представлен в статье, написанной Фишер Блэк в 1976 г.

Модель Блэка можно обобщить до класса моделей, известных как логнормальные прямые модели, также называемые Модель рынка LIBOR.

Формула Блэка

Формула Блэка похожа на Формула Блэка – Шоулза для оценки опционы на акции за исключением того, что спотовая цена базового актива заменяется дисконтированным цена фьючерса Ф.

Предположим, что существует постоянная безрисковая процентная ставка р и цена фьючерса F (т) конкретного базового актива логнормальна с постоянной волатильностью σ. Тогда формула Блэка устанавливает цену на Европейский опцион колл зрелости Т на фьючерсный контракт с ценой исполнения K и дата доставки Т ' (с ${ displaystyle T ' geq T}$) является

${ displaystyle c = e ^ {- rT} [FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})]}$

Соответствующая цена пут составляет

${ displaystyle p = e ^ {- rT} [KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})]}$

куда

${ displaystyle d_ {1} = { frac { ln (F / K) + ( sigma ^ {2} / 2) T} { sigma { sqrt {T}}}}}$

${ displaystyle d_ {2} = { frac { ln (F / K) - ( sigma ^ {2} / 2) T} { sigma { sqrt {T}}}} = d_ {1} - sigma { sqrt {T}},}$

а N (.) - кумулятивная функция нормального распределения.

Обратите внимание, что Т ' не отображается в формулах, хотя может быть больше, чем Т. Это связано с тем, что фьючерсные контракты привязаны к рынку, и поэтому выплата осуществляется при исполнении опциона. Если рассматривать вариант на форвардный контракт истекающий во время Т '> Т, выплата не происходит, пока Т ' . Таким образом, коэффициент дисконтирования ${ displaystyle e ^ {- rT}}$ заменяется на ${ displaystyle e ^ {- rT '}}$ так как необходимо учитывать временная стоимость денег. Разница в двух случаях очевидна из приведенного ниже вывода.

Вывод и предположения

Формула Блэка легко выводится из использования Формула марграбе, что, в свою очередь, представляет собой простое, но умное приложение Формула Блэка – Шоулза.

Выплата по опциону колл по фьючерсному контракту составляет макс (0, F (T) - K). Мы можем рассматривать этот вариант обмена (Margrabe), рассматривая первый актив как ${ Displaystyle е ^ {- г (т-т)} F (т)}$ и вторым активом будет безрисковая облигация с выплатой 1 доллара за раз Т. Затем опцион колл исполняется во время Т когда первый актив стоит больше, чем K безрисковые облигации. Предположения формулы Марграбе удовлетворяются этими активами.

Единственное, что нужно проверить, это то, что первый актив действительно является активом. Это можно увидеть, рассматривая портфель, сформированный в момент времени 0 путем длинной позиции вперед договор с датой поставки Т и коротко Ж (0) безрисковые облигации (обратите внимание, что при детерминированной процентной ставке форвардная и фьючерсная цены равны, поэтому здесь нет двусмысленности). Тогда в любое время т вы можете погасить свои обязательства по форвардному контракту, продав в короткую продажу другого форварда с той же датой поставки, чтобы получить разницу в форвардных ценах, но с дисконтом до приведенной стоимости: ${ Displaystyle е ^ {- г (Т-т)} [F (т) -F (0)]}$. Ликвидация Ж (0) безрисковые облигации, каждая из которых стоит ${ Displaystyle е ^ {- г (Т-т)}}$, приводит к чистой выплате ${ Displaystyle е ^ {- г (т-т)} F (т)}$.

Смотрите также

• Финансовая математика
• Блэк – Скоулз
• Описание приложений
  • Вариант облигации # Оценка
  • Фьючерсный контракт # Опционы на фьючерс
  • Верхний и нижний предел процентной ставки # Черная модель
  • Обмен # Оценка

Рекомендации

• Черный, Фишер (1976). Ценообразование товарных контрактов, Журнал финансовой экономики, 3, 167-179.
• Гарман, Марк Б. и Стивен В. Кольхаген (1983). Стоимость опционов в иностранной валюте, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Милтерсен, К., Сандманн, К. и Зондерманн, Д. (1997): "Решения в закрытой форме для производных срочной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками", Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

внешняя ссылка

Обсуждение

• Варианты облигаций, заглушки и черная модель Д-р Милица Кудина, Техасский университет в Остине

Онлайн-инструменты

• Калькулятор Caplet и Floorlet Д-р Шинг Хинг Ман, Управление рисками Thomson-Reuters