Ошибка отслеживания - Tracking error

В финансы, ошибка отслеживания или же активный риск является мерой риска в инвестиционный портфель это связано с активное управление решения, принятые портфельный менеджер; он показывает, насколько близко портфель следует индексу, по которому он сравнивается. Лучшая мера - это стандартное отклонение разницы между доходностью портфеля и индекса.

Многие портфели управляются по эталону, обычно по индексу. Ожидается, что некоторые портфели будут воспроизводить, до торговли и других затрат, доходность индекса в точности (например, индексный фонд ), в то время как другие должны 'активно управлять 'портфель, немного отклонившись от индекса, чтобы генерировать активные доходы. Ошибка отслеживания - это мера отклонения от эталона; вышеупомянутый индексный фонд будет иметь ошибку отслеживания, близкую к нулю, в то время как активно управляемый портфель обычно имеет более высокую ошибку отслеживания. Таким образом, ошибка отслеживания не включает в себя какой-либо риск (доходность), который является просто функцией движения рынка. В добавление к рисковать (возврат) из определенного ассортимента акций или отрасли и фактор "бета", он также может включать риск (доходность) от выбор времени на рынке решения.

Разделение активной доходности портфеля на ошибку отслеживания портфеля дает соотношение информации, который является показателем эффективности с поправкой на риск.

Определение

Если ошибка отслеживания измеряется исторически, она называется «реализованной» или «фактической» ошибкой отслеживания. Если модель используется для прогнозирования ошибки отслеживания, это называется ошибкой отслеживания ex ante. Ошибка отслеживания ex-post более полезна для отчетности о производительности, тогда как ошибка отслеживания ex-ante обычно используется менеджерами портфеля для управления рисками. Существуют различные типы моделей ожидаемых ошибок отслеживания, от простых моделей капитала, которые используют бета в качестве основного фактора, определяющего более сложные многофакторные модели с фиксированным доходом. В факторной модели портфеля несистематический риск (т. Е. Стандартное отклонение остатков) называется «ошибкой отслеживания» в области инвестиций. Последний способ вычисления ошибки отслеживания дополняет приведенные ниже формулы, но результаты могут отличаться (иногда в 2 раза).

Формулы

Формула ошибки отслеживания ex-post - это стандартное отклонение активной доходности, рассчитанной по:

{ displaystyle TE = omega = { sqrt { operatorname {Var} (r_ {p} -r_ {b})}} = { sqrt {{E} [(r_ {p} -r_ {b}) ^ {2}] - ({E} [r_ {p} -r_ {b}]) ^ {2}}} = { sqrt {(w_ {p} -w_ {b}) ^ {T} Sigma (w_ {p} -w_ {b})}}}

куда ${ displaystyle r_ {p} -r_ {b}}$ активная доходность, то есть разница между доходностью портфеля и эталонной доходностью.^[1] В оптимизация проблема максимизации доходности с учетом ошибки отслеживания и линейных ограничений может быть решена с использованием программирование конуса второго порядка:

{ displaystyle max _ {w} ; mu ^ {T} (w-w_ {b}), quad { text {st}} ; (w-w_ {b}) ^ {T} Сигма (w-w_ {b}) leq omega ^ {2}, ; Ax leq b, ; Cx = d}

Интерпретация

При допущении нормальности доходности активный риск в x процентов будет означать, что можно ожидать, что примерно 2/3 активной доходности портфеля (одно стандартное отклонение от среднего) будет находиться в диапазоне от + x до -x процентов от можно ожидать, что средняя избыточная доходность и около 95% активной доходности портфеля (два стандартных отклонения от среднего) будут находиться в пределах от +2x до -2x процентов от средней избыточной доходности.

Примеры

Индексные фонды ожидаются минимальные ошибки отслеживания.
Обратные биржевые фонды предназначены для работы в качестве обратный индекса или другого эталона и, таким образом, отражают ошибки отслеживания относительно коротких позиций в базовом индексе или эталоне.

Создание индексного фонда

Ожидается, что индексные фонды минимизируют ошибку отслеживания в отношении индекс они пытаются воспроизвести, и эту проблему можно решить с помощью стандартных методов оптимизации. Для начала определим ${ displaystyle omega ^ {2}}$ быть:

{ Displaystyle omega ^ {2} = (ш-ш_ {Ь}) ^ {T} Sigma (ш-ш_ {Ь})}

куда

{ displaystyle w_ {b}}

это ориентир вернуться и

{ displaystyle Sigma}

это ковариационная матрица активов в индексе. При создании индексного фонда можно было бы держать все

{ displaystyle N}

инвестируемые активы в индекс, иногда лучше инвестировать только в часть

{ displaystyle K}

активов. Эти соображения приводят к следующему смешанно-целочисленное квадратичное программирование (MIQP) проблема:

{ displaystyle { begin {align} min _ {w} & quad omega ^ {2} { text {st}} & quad w_ {j} leq y_ {j}, quad сумма _ {j = 1} ^ {N} y_ {j} leq K & quad ell _ {j} y_ {j} leq w_ {j} leq u_ {j} y_ {j}, quad y_ {j} in {0,1 }, quad ell _ {j}, ; u_ {j} geq 0 end {align}}}

куда

{ displaystyle y_ {j}}

является логическим условием включения актива в индексный фонд и определяется как:

{ displaystyle y_ {j} = { begin {cases} 1, quad & w_ {j}> 0 0, quad & { text {else}} end {cases}}}

внешняя ссылка

[1] Cornuejols, Жерар; Tütüncü, Reha (2007). Методы оптимизации в финансах. Математика, финансы и риск. Издательство Кембриджского университета. С. 178–180. ISBN 0521861705.

[1]