Марковский переключающий мультифрактал - Википедия - Markov switching multifractal

В финансовой эконометрика, то Мультифрактал с марковской коммутацией (МСМ) модель доходности активов, разработанная Лоран Э. Кальве и Адлай Дж. Фишер, который включает стохастическая волатильность компоненты неоднородная продолжительность.^[1]^[2] МСМ фиксирует выбросы, журнал-память непостоянство стойкость и изменение мощности финансовая прибыль. В сериях валют и акций MSM выгодно отличается от стандартных модели волатильности Такие как ГАРЧ (1,1) и FIGARCH как внутри, так и вне выборки. МСМ используется практиками в финансовой индустрии для прогнозирования непостоянство, вычислить стоимость, подверженная риску, и цена производные.

Спецификация MSM

Модель MSM может быть указана как в дискретном, так и в непрерывном времени.

Дискретное время

Позволять ${ displaystyle P_ {t}}$ обозначают цену финансового актива, и пусть ${ Displaystyle r_ {t} = ln (P_ {t} / P_ {t-1})}$ обозначают доходность за два последовательных периода. В MSM возврат указывается как

{ displaystyle r_ {t} = mu + { bar { sigma}} (M_ {1, t} M_ {2, t} ... M _ {{ bar {k}}, t}) ^ { 1/2} epsilon _ {t},}

куда ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle sigma}$ - константы и { ${ displaystyle epsilon _ {t}}$ } - независимые стандартные гауссианы. Волатильность определяется вектором латентного марковского состояния первого порядка:

{ displaystyle M_ {t} = (M_ {1, t} M_ {2, t} dots M _ {{ bar {k}}, t}) in R _ {+} ^ { bar {k}} .}

Учитывая состояние волатильности ${ displaystyle M_ {t}}$ , множитель следующего периода ${ displaystyle M_ {k, t + 1}}$ взят из фиксированного распределения $M$ с вероятностью ${ displaystyle gamma _ {k}}$ , а в остальном остается без изменений.

${ displaystyle M_ {k, t}}$ взяты из распределения $M$	с вероятностью ${ displaystyle gamma _ {k}}$
${ displaystyle M_ {k, t} = M_ {k, t-1}}$	с вероятностью ${ displaystyle 1- gamma _ {k}}$

Вероятности перехода задаются

{ displaystyle gamma _ {k} = 1- (1- gamma _ {1}) ^ {(b ^ {k-1})}}

.

Последовательность ${ displaystyle gamma _ {k}}$ приблизительно геометрический ${ displaystyle gamma _ {k} приблизительно gamma _ {1} b ^ {k-1}}$ на низкой частоте. Предельное распределение $M$ имеет единичное среднее значение, имеет положительную поддержку и не зависит от $k$ .

Биномиальный МСМ

В эмпирических приложениях распределение $M$ часто представляет собой дискретное распределение, которое может принимать значения ${ displaystyle m_ {0}}$ или же ${ displaystyle 2-m_ {0}}$ с равной вероятностью. Процесс возврата ${ displaystyle r_ {t}}$ затем определяется параметрами ${ displaystyle theta = (m_ {0}, mu, { bar { sigma}}, b, gamma _ {1})}$ . Обратите внимание, что количество параметров одинаково для всех ${ displaystyle { bar {k}}> 1}$ .

Непрерывное время

МСМ аналогично определяется в непрерывном времени. Ценовой процесс следует за распространением:

{ displaystyle { frac {dP_ {t}} {P_ {t}}} = mu dt + sigma (M_ {t}) , dW_ {t},}

куда ${ displaystyle sigma (M_ {t}) = { bar { sigma}} (M_ {1, t} dots M _ {{ bar {k}}, t}) ^ {1/2}}$ , ${ displaystyle W_ {t}}$ стандартное броуновское движение, и ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle { bar { sigma}}}$ являются константами. Каждый компонент следует динамике:

${ displaystyle M_ {k, t}}$ взяты из распределения $M$	с вероятностью ${ displaystyle gamma _ {k} dt}$
${ Displaystyle M_ {k, t + dt} = M_ {k, t}}$	с вероятностью ${ displaystyle 1- gamma _ {k} dt}$

Интенсивности геометрически меняются в зависимости от $k$ :

{ displaystyle gamma _ {k} = gamma _ {1} b ^ {k-1}.}

Когда количество компонентов ${ displaystyle { bar {k}}}$ стремится к бесконечности, МСМ с непрерывным временем сходится к мультифрактальной диффузии, выборочные траектории которой принимают континуум локальных показателей Гельдера на любом конечном интервале времени.

Вывод и вероятность в закрытой форме

Когда ${ displaystyle M}$ имеет дискретное распределение, марковский вектор состояния ${ displaystyle M_ {t}}$ принимает конечное число значений ${ displaystyle m ^ {1}, ..., m ^ {d} in R _ {+} ^ { bar {k}}}$ . Например, есть ${ displaystyle d = 2 ^ { bar {k}}}$ возможные состояния в биномиальном МСМ. Марковская динамика характеризуется переходной матрицей ${ displaystyle A = (a_ {i, j}) _ {1 leq i, j leq d}}$ с компонентами ${ displaystyle a_ {i, j} = P left (M_ {t + 1} = m ^ {j} | M_ {t} = m ^ {i} right)}$ .В зависимости от состояния волатильности, возврат ${ displaystyle r_ {t}}$ имеет гауссову плотность

{ displaystyle f (r_ {t} | M_ {t} = m ^ {i}) = { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2} (m ^ {i})}} } exp left [- { frac {(r_ {t} - mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2} (m ^ {i})}} right].}

Условное распространение

Вероятность в закрытой форме

Функция правдоподобия журнала имеет следующее аналитическое выражение:

{ displaystyle ln L (r_ {1}, dots, r_ {T}; theta) = sum _ {t = 1} ^ {T} ln [ omega (r_ {t}). ( Пи _ {т-1} А)].}

Максимальная вероятность дает достаточно точные оценки в конечных выборках.^[2]

Другие методы оценки

Когда ${ displaystyle M}$ имеет непрерывное распространение оценка может производиться моделированным методом моментов,^[3]^[4] или смоделированная вероятность с помощью фильтра твердых частиц.^[5]

Прогнозирование

Данный ${ displaystyle r_ {1}, dots, r_ {t}}$ , условное распределение вектора скрытого состояния на дату ${ displaystyle t + n}$ дан кем-то:

{ displaystyle { hat { Pi}} _ {t, n} = Pi _ {t} A ^ {n}. ,}

MSM часто дает лучшие прогнозы волатильности, чем некоторые из лучших традиционных моделей, как в выборке, так и вне ее. Кальве и Фишер^[2] сообщают о значительном улучшении прогнозов волатильности обменного курса на горизонте от 10 до 50 дней по сравнению с GARCH (1,1), Markov-Switching GARCH,^[6]^[7] и фракционно интегрированный GARCH.^[8] Люкс^[4] получает аналогичные результаты, используя линейные прогнозы.

Приложения

Множественные активы и стоимость, подверженная риску

Распространение MSM на несколько активов позволяет получить надежную оценку подверженной риску стоимости портфеля ценных бумаг.^[5]

Стоимость активов

В финансовой экономике МСМ использовались для анализа ценовых последствий многочастотного риска. Модели добились некоторого успеха в объяснении чрезмерной волатильности доходности акций по сравнению с фундаментальными показателями и отрицательной асимметрии доходности акций. Они также использовались для создания мультифрактальных скачкообразных диффузий.^[9]

Связанные подходы

MSM - модель стохастической волатильности^[10]^[11] со сколь угодно большим числом частот. MSM основывается на удобстве моделей переключения режимов, которые были разработаны в области экономики и финансов Джеймс Д. Гамильтон.^[12]^[13] МСМ тесно связан с Мультифрактальная модель доходности активов.^[14] MSM улучшает комбинаторную конструкцию MMAR за счет рандомизации времени прибытия, гарантируя строго стационарный процесс. MSM обеспечивает чистую формулировку мультифрактальных мер с переключением режимов, которые были впервые предложены Бенуа Мандельброт.^[15]^[16]^[17]

Смотрите также

внешняя ссылка

Финансовые временные ряды, мультифракталы и скрытые марковские модели

[1] Calvet, L .; Фишер, А. (2001). «Прогнозирование мультифрактальной волатильности» (PDF). Журнал эконометрики. 105: 27–58. Дои:10.1016 / S0304-4076 (01) 00069-0.

[CF2004-2] а ^б ^c Кальвет, Л. Э. (2004). «Как прогнозировать долгосрочную волатильность: переключение режимов и оценка мультифрактальных процессов». Журнал финансовой эконометрики. 2: 49–83. CiteSeerX 10.1.1.536.8334. Дои:10.1093 / jjfinec / nbh003.

[3] Кальве, Лоран; Фишер, Адлай (июль 2003 г.). «Переключение режимов и оценка мультифрактальных процессов». Рабочий документ NBER № 9839. Дои:10.3386 / w9839.

[Lux_2008_194–210-4] а ^б Люкс, Т. (2008). "Мультифрактальная модель доходности активов с марковскими переключениями". Журнал деловой и экономической статистики. 26 (2): 194–210. Дои:10.1198/073500107000000403.

[Calvet_2006_179–215-5] а ^б Calvet, L.E .; Фишер, А. Дж .; Томпсон, С. Б. (2006). «Волатильное движение: многочастотный подход». Журнал эконометрики. 131 (1–2): 179–215. CiteSeerX 10.1.1.331.152. Дои:10.1016 / j.jeconom.2005.01.008.

[6] Грей, С. Ф. (1996). «Моделирование условного распределения процентных ставок как процесса переключения режимов». Журнал финансовой экономики. 42: 27–77. Дои:10.1016 / 0304-405X (96) 00875-6.

[7] Клаассен, Ф. (2002). «Улучшение прогнозов волатильности GARCH с переключением режимов GARCH» (PDF). Эмпирическая экономика. 27 (2): 363–394. Дои:10.1007 / s001810100100.

[8] Боллерслев, Т .; Оле Миккельсен, Х. (1996). «Моделирование и ценообразование долгой памяти в волатильности фондового рынка». Журнал эконометрики. 73: 151–184. Дои:10.1016/0304-4076(95)01736-4.

[9] Calvet, Laurent E .; Фишер, Адлай Дж. (2008). Теория мультифрактальной волатильности, прогнозирование и ценообразование. Берлингтон, Массачусетс: Academic Press. ISBN 9780080559964.

[10] Тейлор, Стивен Дж (2008). Моделирование финансовых временных рядов (2-е изд.). Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 9789812770844.

[11] Виггинс, Дж. Б. (1987). «Стоимость опционов при стохастической волатильности: теория и эмпирические оценки» (PDF). Журнал финансовой экономики. 19 (2): 351–372. Дои:10.1016 / 0304-405X (87) 90009-2.

[12] Гамильтон, Дж. Д. (1989). «Новый подход к экономическому анализу нестационарных временных рядов и делового цикла». Econometrica. 57 (2): 357–384. CiteSeerX 10.1.1.397.3582. Дои:10.2307/1912559. JSTOR 1912559.

[13] Гамильтон, Джеймс (2008). «Модели с переключением режимов». Новый экономический словарь Пэлгрейва (2-е изд.). Palgrave Macmillan Ltd. ISBN 9780333786765.

[14] Мандельброт, Бенуа; Фишер, Адлай; Кальве, Лоран (сентябрь 1997 г.). «Мультифрактальная модель доходности активов». Документ для обсуждения фонда Cowles No. 1164. SSRN 78588.

[15] Мандельброт, Б. Б. (2006). «Прерывистая турбулентность в автомодельных каскадах: расхождение высоких моментов и размерность носителя». Журнал гидромеханики. 62 (2): 331. Дои:10.1017 / S0022112074000711.

[16] Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы (Обновлено и доп. Ред.). Нью-Йорк: Фриман. ISBN 9780716711865.

[17] Mandelbrot, Benoit B .; Дж. М. Бергер; и другие. (1999). Мультифракталы и 1 / f-шум: дикая самоаффинность в физике (1963 - 1976) (Ред. Ред.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк [u.a.]: Springer. ISBN 9780387985398.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]