Теорема Кларка – Окона - Clark–Ocone theorem

В математика, то Теорема Кларка – Окона (также известный как Теорема Кларка – Окона – Османа или же формула) это теорема из стохастический анализ. Он выражает ценность некоторых функция F определены на классическое винеровское пространство непрерывных путей, начинающихся в начале координат, как сумму его иметь в виду ценность и Ито интегральный относительно этого пути. Он назван в честь вкладов математики J.M.C. Кларк (1970), Даниэль Оконе (1984) и У.Г. Осман (1978).

Формулировка теоремы

Позволять C₀([0, Т]; р) (или просто C₀ для краткости) классическое винеровское пространство с винеровской мерой γ. Позволять F : C₀ → р быть BC¹ функция, т.е. F является ограниченный и Дифференцируемый по Фреше с ограниченной производной DF : C₀ → Линь (C₀; р). потом

{displaystyle F (sigma) = int _ {C_ {0}} F (p), mathrm {d} gamma (p) + int _ {0} ^ {T} mathbf {E} left [left. {frac {partial } {partial t}} abla _ {H} F (-) ight | Sigma _ {t} ight] (sigma), mathrm {d} sigma _ {t}.}

В приведенном выше

F(σ) - значение функции F на каком-то интересном пути, σ;
первый интеграл,

{displaystyle int _ {C_ {0}} F (p), mathrm {d} gamma (p) = mathbf {E} [F]}

это ожидаемое значение из F по всему винеровскому пространству C₀;

второй интеграл,

{displaystyle int _ {0} ^ {T} cdots, mathrm {d} sigma (t)}

является Itō интегральный;

Σ_∗ это естественно фильтрация из Броуновское движение B : [0, Т] × Ω →р: Σ_т самый маленький σ-алгебра содержащий все B_s⁻¹(А) для времен 0 ≤s ≤ т и борелевские множества А ⊆ р;
E[· | Σ_т] обозначает условное ожидание относительно сигма-алгебры Σ_т;
^∂/_∂т обозначает дифференциация относительно времени т; ∇_ЧАС обозначает ЧАС-градиент; следовательно, ^∂/_∂т∇_ЧАС это Производная Маллявэна.

В целом вывод верен для любого F в L²(C₀; р), дифференцируемую по Маллявэну.

Интеграция по частям на винеровском пространстве

Теорема Кларка – Окона приводит к интеграция по частям формулу на классическом винеровском пространстве и написать Интегралы Ито в качестве расхождения:

Позволять B - стандартное броуновское движение, и пусть L₀^2,1 быть пространством Камерона – Мартина для C₀ (видеть абстрактное винеровское пространство. Позволять V : C₀ → L₀^2,1 быть векторное поле такой, что