Квазиизометрия - Википедия - Quasi-isometry

В математика, а квазиизометрия это функция между двумя метрические пространства который уважает крупномасштабную геометрию этих пространств и игнорирует их мелкомасштабные детали. Два метрических пространства квазиизометрический если между ними существует квазиизометрия. Свойство быть квазиизометрическим ведет себя как отношение эквивалентности на учебный класс метрических пространств.

Понятие квазиизометрии особенно важно в геометрическая теория групп, следя за работой Громов.^[1]

Этот решетка квазиизометрично плоскости.

Определение

Предположим, что ${ displaystyle f}$ является (не обязательно непрерывной) функцией из одного метрического пространства ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ во второе метрическое пространство ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ . потом ${ displaystyle f}$ называется квазиизометрия из ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ к ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ если существуют константы ${ displaystyle A geq 1}$ , ${ displaystyle B geq 0}$ , и ${ displaystyle C geq 0}$ таким образом, что выполняются следующие два свойства:^[2]

За каждые два балла ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle M_ {1}}$ , расстояние между их изображениями с точностью до аддитивной константы ${ displaystyle B}$ в пределах фактора ${ displaystyle A}$ их первоначального расстояния. Более формально:
${ displaystyle forall x, y in M_ {1}: { frac {1} {A}} ; d_ {1} (x, y) -B leq d_ {2} (f (x), f (y)) leq A ; d_ {1} (x, y) + B.}$
Каждая точка ${ displaystyle M_ {2}}$ находится на постоянном расстоянии ${ displaystyle C}$ точки изображения. Более формально:
${ Displaystyle forall z in M_ {2}: существует x in M_ {1}: d_ {2} (z, f (x)) leq C.}$

Два метрических пространства ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ и ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ называются квазиизометрический если существует квазиизометрия ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ к ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ .

Карта называется квазиизометрическое вложение если он удовлетворяет первому условию, но не обязательно второму (т.е. Липшиц но может не быть грубо сюръективным). Другими словами, если через карту, ${ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ квазиизометрично подпространству ${ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ .

Два метрических пространства M₁ и M₂ как говорят квазиизометрический, обозначенный ${ Displaystyle M_ {1} { underset {q.i.} { sim}} M_ {2}}$ , если существует квазиизометрия ${ displaystyle f: M_ {1} to M_ {2}}$ .

Примеры

Карта между Евклидова плоскость и самолет с Манхэттенское расстояние который отправляет каждую точку самой себе, является квазиизометрией: в ней расстояния умножаются не более чем на коэффициент ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Учтите, что изометрии быть не может, так как, например, точки ${ Displaystyle (1,0), (- 1,0), (0,1), (0, -1)}$ находятся на равном расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии, но в плоскости Евклиды нет 4 точек, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Карта ${ displaystyle f: mathbb {Z} ^ {n} mapsto mathbb {R} ^ {n}}$ (как с Евклидова метрика ), который отправляет каждый ${ displaystyle n}$ -набор целых чисел самому себе является квазиизометрией: расстояния сохраняются точно, и каждый реальный кортеж находится в пределах расстояния ${ displaystyle { sqrt {n / 4}}}$ целочисленного кортежа. В другом направлении разрывная функция, которая раунды каждый кортеж действительных чисел до ближайшего целочисленного кортежа также является квазиизометрией: каждая точка переносится этой картой в точку на расстоянии ${ displaystyle { sqrt {n / 4}}}$ его, поэтому округление изменяет расстояние между парами точек путем добавления или вычитания не более чем ${ displaystyle 2 { sqrt {n / 4}}}$ .

Каждая пара конечных или ограниченных метрических пространств квазиизометрична. В этом случае каждая функция из одного пространства в другое является квазиизометрией.

Отношение эквивалентности

Если ${ displaystyle f: M_ {1} mapsto M_ {2}}$ является квазиизометрией, то существует квазиизометрия ${ displaystyle g: M_ {2} mapsto M_ {1}}$ . В самом деле, ${ displaystyle g (x)}$ можно определить, разрешив ${ displaystyle y}$ быть любой точкой в образе ${ displaystyle f}$ что на расстоянии ${ displaystyle C}$ из ${ displaystyle x}$ , и позволяя ${ displaystyle g (x)}$ быть любой точкой в ${ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ .

Поскольку карта идентичности является квазиизометрией, а сочинение двух квазиизометрий является квазиизометрией, отсюда следует, что свойство быть квазиизометрией ведет себя как отношение эквивалентности на классе метрических пространств.

Использование в геометрической теории групп

Учитывая конечное генераторная установка S конечно порожденного группа грамм, мы можем сформировать соответствующие Граф Кэли из S и грамм. Этот граф становится метрическим пространством, если мы объявляем длину каждого ребра равной 1. Взяв другое конечное порождающее множество Т приводит к другому графу и другому метрическому пространству, однако эти два пространства квазиизометричны.^[3] Таким образом, этот класс квазиизометрии является инвариантный группы грамм. Любое свойство метрических пространств, которое зависит только от класса квазиизометрии пространства, немедленно дает другой инвариант групп, открывая область теории групп для геометрических методов.

В более общем плане Лемма Шварца – Милнора. заявляет, что если группа грамм действует правильно прерывисто с компактным фактором на собственном геодезическом пространстве Икс тогда грамм квазиизометрично Икс (это означает, что любой граф Кэли для грамм является). Это дает новые примеры групп, квазиизометричных друг другу:

Если ГРАММ' является подгруппой конечных индекс в грамм тогда ГРАММ' квазиизометрично грамм;
Если грамм и ЧАС фундаментальные группы двух компактных гиперболические многообразия того же измерения d то они оба квазиизометричны гиперболическому пространству ЧАС^d и, следовательно, друг к другу; с другой стороны, существует бесконечно много классов квазиизометрий фундаментальных групп конечного объема.^[4]

Квазигеодезические и лемма Морса

А квазигеодезический в метрическом пространстве ${ displaystyle (X, d)}$ является квазиизометрическим вложением ${ Displaystyle mathbb {R}}$ в ${ displaystyle X}$ . Точнее карта ${ displaystyle phi: mathbb {R} to X}$ такой, что существует ${ displaystyle C, K> 0}$ так что

{ displaystyle forall s, t in mathbb {R}: C ^ {- 1} | st | -K leq d ( phi (t), phi (s)) leq C | st | + K}

называется ${ displaystyle (C, K)}$ -квазигеодезический. Очевидно, геодезические (параметризованные длиной дуги) являются квазигеодезическими. Тот факт, что в некоторых пространствах грубо верно обратное, т.е. что каждая квазигеодезическая находится на ограниченном расстоянии от истинной геодезической, называется Лемма Морса (не путать с, возможно, более широко известными Лемма Морса в дифференциальной топологии). Формально заявление:

Позволять ${ displaystyle delta, C, K> 0}$ и ${ displaystyle X}$ правильный δ-гиперболическое пространство. Существует ${ displaystyle M}$ такой, что для любого ${ displaystyle (C, K)}$ -квазигеодезическая существует геодезическая ${ displaystyle L}$ в ${ displaystyle X}$ такой, что ${ Displaystyle д ( фи (т), L) Leq M}$ для всех ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$ .

Это важный инструмент в геометрической теории групп. Непосредственное применение состоит в том, что любая квазиизометрия между собственными гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между их границами. Этот результат является первым шагом в доказательстве Теорема жесткости Мостова.

Примеры квазиизометрийных инвариантов групп

Ниже приведены некоторые примеры свойств групповых графов Кэли, инвариантных относительно квазиизометрии:^[2]

Гиперболичность

Группа называется гиперболический если один из его графов Кэли является δ-гиперболическим пространством для некоторого δ. При переводе между разными определениями гиперболичности конкретное значение δ может измениться, но полученные в результате понятия гиперболической группы оказываются эквивалентными.

Гиперболические группы имеют разрешимую проблема со словом. Они есть двуавтоматический и автоматический.:^[5] действительно, они строго геодезически автоматический, то есть в группе есть автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слова, - это набор всех геодезических слов.

Рост

В скорость роста из группа относительно симметричной генераторная установка описывает размер шаров в группе. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение генераторов, а скорость роста учитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины. п.

В соответствии с Теорема Громова, группа полиномиального роста есть практически нильпотентный, т.е. имеет нильпотентный подгруппа конечных индекс. В частности, порядок полиномиального роста ${ displaystyle k_ {0}}$ должен быть натуральное число а на самом деле ${ Displaystyle # (п) сим п ^ {к_ {0}}}$ .

Если ${ Displaystyle # (п)}$ растет медленнее любой экспоненциальной функции, грамм имеет субэкспоненциальный темп роста. Любая такая группа послушный.

Заканчивается

В заканчивается из топологическое пространство являются, грубо говоря, связанные компоненты «идеальной границы» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перехода к бесконечность в пространстве. Добавление точки на каждом конце дает компактификация оригинального пространства, известного как конец компактификации.

Концы конечно порожденная группа определяются как концы соответствующих Граф Кэли; это определение не зависит от выбора конечного порождающего множества. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет 0,1, 2 или бесконечно много концов, и Теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Если два связных локально конечных графа квазиизометричны, то у них одинаковое количество концов.^[6] В частности, две квазиизометрические конечно порожденные группы имеют одинаковое количество концов.

Снисходительность

An податливая группа это локально компактный топологическая группа грамм выполняя своего рода операцию усреднения на ограниченных функциях, инвариантный при переводе по групповым элементам. Исходное определение в терминах конечно аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах грамм, был представлен Джон фон Нейман в 1929 г. Немецкий имя "messbar" ("измеримый" по-английски) в ответ на Парадокс Банаха – Тарского. В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «amenable», очевидно, как игра слов.^[7]

В теория дискретных групп, где грамм имеет дискретная топология, используется более простое определение. В этом случае группа подлежит изменению, если можно сказать, какая доля грамм занимает любое данное подмножество.

Если в группе есть Последовательность Фёльнера тогда это автоматически поддается.

Асимптотический конус

An сверхпредел геометрическая конструкция, которая сопоставляет последовательность метрические пространства Икс_п предельное метрическое пространство. Важным классом сверхпределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Позволять (Икс,d) - метрическое пространство, пусть ω быть неглавным ультрафильтром на ${ Displaystyle mathbb {N}}$ и разреши п_п ∈ Икс - последовательность базовых точек. Затем ω–Ультрапредел последовательности ${ displaystyle (X, { гидроразрыва {d} {n}}, p_ {n})}$ называется асимптотическим конусом Икс относительно ω и ${ Displaystyle (п_ {п}) _ {п} ,}$ и обозначается ${ Displaystyle Конус _ { omega} (X, d, (p_ {n}) _ {n}) ,}$ . Часто считают, что последовательность базовых точек постоянна, п_п = п для некоторых p ∈ X; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается ${ Displaystyle Конус _ { omega} (X, d) ,}$ или просто ${ Displaystyle Конус _ { omega} (X) ,}$ .

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрическая теория групп поскольку асимптотические конусы (точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают квазиизометричные инварианты метрических пространств вообще и конечно порожденных групп в частности.^[8] Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболические группы и их обобщения.^[9]