Теорема Бекмана – Куорлза - Википедия - Beckman–Quarles theorem

В геометрия, то Теорема Бекмана – Куорлза, названный в честь Ф. С. Бекмана и Д. А. Куорлза-младшего, утверждает, что если преобразование Евклидова плоскость или многомерный Евклидово пространство сохраняет единичные расстояния, то он сохраняет все расстояния. В равной степени каждый автоморфизм из график единичного расстояния самолета должен быть изометрия Бекман и Куорлз опубликовали этот результат в 1953 г .;[1] позже он был переоткрыт другими авторами.[2][3]

Официальное заявление

Формально результат таков. Позволять ж быть функция или же многозначная функция из d-мерное евклидово пространство самому себе, и предположим, что для каждой пары точек п и q которые находятся на единичном расстоянии друг от друга, каждая пара изображений ж(п) и ж(q) также находятся на единичном расстоянии друг от друга. потом ж должен быть изометрия: это индивидуальная функция который сохраняет расстояния между всеми парами точек.[1]

Контрпримеры для других пространств

Бекман и Куорлз замечают, что теорема неверна для реальная линия (одномерное евклидово пространство). В самом деле, функция ж(Икс) что возвращается Икс + 1 если Икс является целым числом и возвращает Икс в противном случае подчиняется предварительным условиям теоремы (сохраняет единичные расстояния), но не является изометрией.[1]

Бекман и Куорлз также дают контрпример для Гильбертово пространство, пространство суммируемых с квадратом последовательностей действительных чисел. Этот пример включает сочинение из двух прерывистые функции: тот, который отображает каждую точку гильбертова пространства на ближайшую точку в счетный плотное подпространство, и секунда, отображающая это плотное множество в счетную единицу симплекс (бесконечный набор точек на единичном расстоянии друг от друга). Эти два преобразования отображают любые две точки на единичном расстоянии друг от друга в две разные точки в плотном подпространстве, а оттуда отображают их в две разные точки симплекса, которые обязательно находятся на единичном расстоянии друг от друга. Следовательно, в их составе сохраняются единичные расстояния. Однако это не изометрия, потому что она отображает каждую пару точек, независимо от их исходного расстояния, либо в одну точку, либо на единичное расстояние.[1]

Связанные результаты

Для преобразований только подмножества евклидова пространства с Декартовы координаты которые рациональное число, ситуация сложнее, чем для полной евклидовой плоскости. В этом случае существуют сохраняющие единичное расстояние неизометрии размерностей до четырех, но не существуют для измерений пять и выше.[4][5] Подобные результаты справедливы также для отображений рациональных точек, которые сохраняют другие расстояния, такие как квадратный корень из двух.[6]

Один из способов перефразировать теорему Бекмана – Куорлза состоит в том, что для график единичного расстояния вершинами которого являются все точки на плоскости, с ребром между любыми двумя точками на единичном расстоянии, единственное автоморфизмы графов очевидны, исходя из изометрий плоскости. Для пар точек, расстояние которых равно алгебраическое число А, существует конечная версия этой теоремы: Маэхара показал, что существует конечная жесткий график единичного расстояния грамм в котором две вершины п и q должен быть на расстоянии А друг от друга, из чего следует, что любое преобразование плоскости, сохраняющее единичные расстояния в грамм также должны сохранять расстояние между п и q.[7][8][9]

Некоторые авторы исследовали аналогичные результаты для других типов геометрий. Например, можно заменить евклидово расстояние на значение квадратичная форма.[10]Теоремы Бекмана – Куорлза были доказаны для неевклидовых пространств, таких как Пространство Минковского,[11] обратное расстояние в Самолет Мебиуса,[12] конечный Дезарговские самолеты,[13] и пространства, определенные над поля с ненулевым характеристика.[14][15]Кроме того, теоремы этого типа использовались для характеристики преобразований, отличных от изометрий, таких как Преобразования Лоренца.[16]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Beckman, F. S .; Куорлз, Д. А., мл. (1953), "Об изометриях евклидовых пространств", Труды Американского математического общества, 4: 810–815, Дои:10.2307/2032415, МИСТЕР  0058193.
  2. ^ Таунсенд, Карл Г. (1970), "Сохраняющие конгруэнтность отображения", Математический журнал, 43: 37–38, Дои:10.2307/2688111, МИСТЕР  0256252.
  3. ^ Бишоп, Ричард Л. (1973), "Характеризация движений инвариантностью единичного расстояния", Математический журнал, 46: 148–151, Дои:10.2307/2687969, МИСТЕР  0319026.
  4. ^ Коннелли, Роберт; Закс, Джозеф (2003), "Теорема Бекмана-Куорлза для рациональных d-пространства, d даже и d ≥ 6", Дискретная геометрия, Моногр. Учебники Pure Appl. Математика, 253, Нью-Йорк: Деккер, стр. 193–199, Дои:10.1201 / 9780203911211.ch13, МИСТЕР  2034715.
  5. ^ Закс, Джозеф (2006), "Рациональный аналог теоремы Бекмана-Куорлза и рациональная реализация некоторых множеств в $ E ^ d $", Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni. Серия VII, 26 (1): 87–94, МИСТЕР  2215835.
  6. ^ Закс, Джозеф (2005), "На сопоставлениях Qd к Qd сохраняющие расстояния 1 и √2 и теорему Бекмана-Куорлза ", Журнал геометрии, 82 (1–2): 195–203, Дои:10.1007 / s00022-004-1660-3, МИСТЕР  2161824.
  7. ^ Маэхара, Хироши (1991), "Расстояния в жестком графе единичных расстояний на плоскости", Дискретная прикладная математика, 31 (2): 193–200, Дои:10.1016 / 0166-218X (91) 90070-D.
  8. ^ Маэхара, Хироши (1992), «Расширение гибкой структуры единичной балки на жесткую», Дискретная математика, 108 (1–3): 167–174, Дои:10.1016 / 0012-365X (92) 90671-2, МИСТЕР  1189840.
  9. ^ Тышка, Аполониуш (2000), "Дискретные версии теоремы Бекмана-Куорлза", Aequationes Mathematicae, 59 (1–2): 124–133, arXiv:математика / 9904047, Дои:10.1007 / PL00000119, МИСТЕР  1741475.
  10. ^ Лестер, Джун А. (1979), "Преобразования п-пространство, сохраняющее фиксированное квадратное расстояние ", Канадский математический журнал, 31 (2): 392–395, Дои:10.4153 / CJM-1979-043-6, МИСТЕР  0528819.
  11. ^ Лестер, Джун А. (1981), "Теорема Бекмана-Куорлза в пространстве Минковского для пространственноподобного квадратного расстояния", C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Канада, 3 (2): 59–61, МИСТЕР  0612389.
  12. ^ Лестер, Джун А. (1991), "Теорема типа Бекмана-Куорлза для инверсивного расстояния Кокстера", Канадский математический бюллетень, 34 (4): 492–498, Дои:10.4153 / CMB-1991-079-6, МИСТЕР  1136651.
  13. ^ Бенц, Уолтер (1982), "Теорема типа Бекмана-Куорлза для конечных дезарговых плоскостей", Журнал геометрии, 19 (1): 89–93, Дои:10.1007 / BF01930870, МИСТЕР  0689123.
  14. ^ Радо, Ференц (1983), "Характеристика полуизометрий плоскости Минковского над полем K", Журнал геометрии, 21 (2): 164–183, Дои:10.1007 / BF01918141, МИСТЕР  0745209.
  15. ^ Радо, Ференц (1986), "Об отображениях пространства Галуа", Израильский математический журнал, 53 (2): 217–230, Дои:10.1007 / BF02772860, МИСТЕР  0845873.
  16. ^ Бенц, Уолтер (1980–1981), "Теорема типа Бекмана Куорлза для плоских преобразований Лоренца", C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Канада, 2 (1): 21–22, МИСТЕР  0564486.