Инверсивное расстояние - Википедия - Inversive distance

В инверсивная геометрия, то обратное расстояние это способ измерения "расстояние "между двумя круги независимо от того, пересекаются ли круги друг с другом, касаются друг друга или не пересекаются друг с другом.^[1]

Характеристики

Обратное расстояние остается неизменным, если круги перевернутый, или преобразованный Преобразование Мёбиуса.^[1][2][3] Одна пара окружностей может быть преобразована в другую с помощью преобразования Мёбиуса тогда и только тогда, когда обе пары имеют одинаковое обратное расстояние.^[1]

Аналог Теорема Бекмана – Куорлза справедливо для инверсивного расстояния: если биекция набора кругов в инверсной плоскости сохраняет обратное расстояние между парами окружностей на некотором выбранном фиксированном расстоянии ${ displaystyle delta}$, то это должно быть преобразование Мёбиуса, сохраняющее все обратные расстояния.^[3]

Формула расстояния

Для двух кругов в Евклидова плоскость с радиусами ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle R}$, и расстояние ${ displaystyle d}$ между их центрами обратное расстояние можно определить по формуле^[1]

${ displaystyle I = { frac {d ^ {2} -r ^ {2} -R ^ {2}} {2rR}}.}$

Эта формула дает:

• значение больше 1 для двух непересекающихся кругов,
• значение 1 для двух окружностей, которые касаются друг друга и находятся вне друг друга,
• значение от -1 до 1 для двух пересекающихся кругов,
  • значение 0 для двух кругов, которые пересекаются друг с другом в прямые углы ,
• значение -1 для двух окружностей, которые касаются друг друга, одна внутри другой,
• и значение меньше -1, когда один кружок содержит другой.

(Некоторые авторы определяют абсолютное обратное расстояние как абсолютное значение обратного расстояния.)

Некоторые авторы модифицируют эту формулу, принимая обратный гиперболический косинус значения, указанного выше, а не самого значения.^[2][4] То есть вместо использования числа ${ displaystyle I}$ в качестве обратного расстояния, вместо этого оно определяется как число ${ displaystyle delta}$ подчиняясь уравнению

${ displaystyle delta = operatorname {arcosh} (I).}$

Хотя преобразование обратного расстояния таким образом усложняет формулу расстояния и предотвращает ее применение к пересекающимся парам окружностей, оно имеет то преимущество, что (как и обычное расстояние для точек на линии) расстояние становится аддитивным для окружностей в карандаш кругов. То есть, если три круга принадлежат одному карандашу, то (используя ${ displaystyle delta}$ на месте ${ displaystyle I}$ как обратное расстояние) одно из трех попарных расстояний будет суммой двух других.^[2]

В других геометриях

Также возможно определить обратное расстояние для окружностей на сфера, или для кругов в гиперболическая плоскость.^[1]

Приложения

Цепи Штейнера

А Цепь Штейнера для двух непересекающихся окружностей - это конечная циклическая последовательность дополнительных окружностей, каждая из которых касается двух данных окружностей и двух своих соседей по цепочке. Поризма Штейнера утверждает, что если две окружности имеют цепочку Штейнера, у них бесконечно много таких цепей. Цепь может оборачиваться более одного раза вокруг двух кругов и может быть охарактеризована рациональным числом. ${ displaystyle p}$ числитель которого равен количеству кругов в цепочке, а знаменатель - количеству витков. Все цепочки для одних и тех же двух кругов имеют одинаковое значение ${ displaystyle p}$. Если обратное расстояние между двумя окружностями (после вычисления обратного гиперболического косинуса) равно ${ displaystyle delta}$, тогда ${ displaystyle p}$ можно найти по формуле

${ displaystyle p = { frac { pi} { sin ^ {- 1} tanh ( delta / 2)}}.}$

И наоборот, каждые две непересекающиеся окружности, для которых эта формула дает Рациональное число поддержит цепочку Штайнера. В более общем смысле, произвольная пара непересекающихся окружностей может быть сколь угодно близко аппроксимирована парами окружностей, поддерживающими цепи Штейнера, ${ displaystyle p}$ ценности рациональные приближения к значению этой формулы для данных двух кружков.^[2]

Круглые упаковки

Инверсивное расстояние было использовано для определения концепции инверсивного расстояния. упаковка круга: набор кругов, такой что указанное подмножество пар кругов (соответствующих краям планарный граф ) имеют заданное обратное расстояние друг относительно друга. Эта концепция обобщает кольцевые упаковки, описываемые теорема об упаковке кругов, в котором указанные пары окружностей касаются друг друга.^[1][5] Хотя о существовании упаковок кругов с обратным расстоянием известно меньше, чем об упаковках касательных кругов, известно, что, когда они существуют, они могут быть однозначно заданы (с точностью до преобразований Мёбиуса) заданным максимальный планарный граф и набор евклидовых или гиперболических обратных расстояний. Этот свойство жесткости можно обобщить в широком смысле на евклидовы или гиперболические метрики на триангулированных коллекторы с угловые дефекты в их вершинах.^[6] Однако для коллекторов со сферической геометрией эти упаковки больше не уникальны.^[7] В свою очередь, упаковки кругов с обратным расстоянием были использованы для построения приближений к конформные отображения.^[1]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Обратное расстояние». MathWorld.