Серия Мадхава - Madhava series

В математика, а Серия Мадхава или же Серия Лейбница является любой из серий в коллекции бесконечная серия выражения, все из которых, как полагают, были обнаружены Мадхава Сангамаграмы (ок. 1350 - ок. 1425), основатель Керальская школа астрономии и математики а позже Готфрид Вильгельм Лейбниц, среди прочего. Эти выражения являются Серия Маклорена разложения тригонометрических синус, косинус и арктангенс функции, и частный случай разложения функции арктангенса в степенной ряд, дающий формулу для вычисления π. Разложения функций синуса и косинуса в степенной ряд соответственно называются Синус серии Мадхавы и Косинусный ряд Мадхавы. Расширение в степенной ряд функции арктангенса иногда называют Мадхава – Грегори серия^[1][2] или же Григорий – Мадхава. Эти силовые ряды также вместе называются Серия Тейлор – Мадхава.^[3] Формула для π называется Мадхава–Ньютон серии или же Мадхава–Лейбниц серии или же Формула Лейбница для числа пи или серия Лейбница – Грегори – Мадхава.^[4] Эти дальнейшие названия для различных серий отражают названия Западный первооткрыватели или популяризаторы соответствующей серии.

В выводах используются многие связанные с исчислением концепции, такие как суммирование, скорость изменения и интерполяция, что предполагает, что индийские математики твердо понимали концепцию предела и основы исчисления задолго до того, как они были разработаны в Европе. Другие свидетельства индийской математики до этого момента, такие как интерес к бесконечным рядам и использование десятичной системы счисления, также предполагают, что исчисление могло развиться в Индии почти за 300 лет до его признания рождения в Европе.^[5]

Никакие сохранившиеся работы Мадхавы не содержат явных заявлений относительно выражений, которые теперь называются серией Мадхавы. Однако в письмах более поздних членов Керальская школа астрономии и математики подобно Нилаканта Сомаяджи и Джештхадева можно найти недвусмысленное приписывание этой серии Мадхаве. В работах этих более поздних астрономов и математиков можно проследить индийские доказательства этих расширений в ряды. Эти доказательства дают достаточно указаний на подход, который использовал Мадхава, чтобы прийти к расширению своей серии.

В отличие от большинства предыдущих культур, которые довольно нервничали по поводу концепции бесконечности, Мадхава был более чем счастлив поиграть с бесконечностью, особенно с бесконечными сериями. Он показал, как, хотя число 1 может быть аппроксимировано добавлением половины плюс четверть плюс восьмая плюс шестнадцатая и т. Д. (Как знали даже древние египтяне и греки), точная сумма 1 может быть достигнута только с помощью сложение бесконечно многих дробей. Но Мадхава пошел дальше и связал идею бесконечного ряда с геометрией и тригонометрией. Он понял, что, последовательно добавляя и вычитая различные дроби нечетных чисел до бесконечности, он может найти точную формулу для число Пи (это было за два столетия до того, как Лейбниц пришел к такому же выводу в Европе).^[6]

Серии Мадхавы в современных обозначениях

В трудах математиков и астрономов Школа Кералы, Серии Мадхавы описаны в терминологии и концепциях, модных в то время. Когда мы переводим эти идеи в обозначения и концепции современной математики, мы получаем современные эквиваленты серии Мадхавы. Эти современные аналоги бесконечных рядов выражений, открытых Мадхавой, следующие:

Серия Мадхава в «Словах Мадхавы»

Ни одна из работ Мадхавы, содержащих какие-либо приписываемые ему выражения серии, не сохранилась. Эти серии выражений встречаются в трудах последователей Мадхавы в Школа Кералы. Во многих местах эти авторы ясно заявляли, что это «как сказал Мадхава». Таким образом, изложения различных серий, найденных в Тантрасамграха можно смело предположить, что комментарии к нему написаны «собственными словами Мадхавы». Переводы соответствующих стихов, приведенные в Юктидипика комментарий Тантрасамграха (также известен как Тантрасамграха-вьяхья) к Шанкара Вариар (ок. 1500-1560 гг. н. э.) воспроизводятся ниже. Затем они отображаются в текущих математических обозначениях.^[8][9]

Синус серии Мадхавы

По словам Мадхавы

Синусоидальный ряд Мадхавы изложен в стихах 2.440 и 2.441 в Юкти-дипика комментарий (Тантрасамграха-вьяхья) к Шанкара Вариар. Далее следует перевод этих стихов.

Умножьте дугу на квадрат дуги и возьмите результат повторения этого (любое количество раз). Разделите (каждый из вышеперечисленных числителей) на квадраты последовательных четных чисел, умноженные на это число и умноженные на квадрат радиуса. Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного. Вместе они дают дживу, как собраны вместе в стихе, начинающемся со слов «видван» и т. Д.

Рендеринг в современных обозначениях

Позволять р обозначим радиус круга и s длина дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

${ Displaystyle s cdot s ^ {2}, qquad s cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad s cdot s ^ {2} cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad cdots}$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

${ displaystyle s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}}, qquad s cdot { frac {s ^ {2}} { (2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}}, qquad s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) г ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} +6) г ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Поместите дугу и последовательные полученные таким образом результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного, чтобы получить джива:

${ displaystyle { text {jiva}} = s- left [s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} - left [ s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} + 4) r ^ {2}}} - left [s cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} +6) r ^ {2}} } - cdots right] right] right]}$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ - угол, образующий дугу s в центре круга. потом s = г θ и джива = р грех θ. Подставляя их в последнее выражение и упрощая, получаем

${ displaystyle sin theta = theta - { frac { theta ^ {3}} {3!}} + { frac { theta ^ {5}} {5!}} - { frac { тета ^ {7}} {7!}} + quad cdots}$

который представляет собой разложение синусоидальной функции в бесконечный степенной ряд.

Переформулировка Мадхавы для числовых вычислений

Последняя строчка в стихе 'собранные вместе в стихе, начинающемся со слов «видван» и т. д.'Является отсылкой к переформулировке ряда, введенной самим Мадхавой, чтобы упростить вычисления для указанных значений дуги и радиуса. Для такой переформулировки Мадхава рассматривает круг, четверть которого составляет 5400 минут (скажем, C минут) и разрабатывает схему для простых вычислений джива′ S различных дуг такого круга. Позволять р - радиус круга, четверть которого измеряет Ч. Мадхава уже вычислил значение π, используя свою формулу ряда для π.^[10] Используя это значение π, а именно 3,1415926535922, радиус р вычисляется следующим образом: Тогда

р = 2 × 5400 / π = 3437,74677078493925 = 3437 угловые минуты 44 угловые секунды 48 шестидесятых угловая секунда = 3437′ 44′′ 48′′′.

Выражение Мадхавы для джива соответствующей любой дуге s круга радиуса р эквивалентно следующему:

${ displaystyle { begin {align} { text {jiva}} & = s - { frac {s ^ {3}} {R ^ {2} (2 ^ {2} +2)}} + { frac {s ^ {5}} {R ^ {4} (2 ^ {2} +2) (4 ^ {2} +4)}} - cdots [6pt] & = s- left ({ frac {s} {C}} right) ^ {3} left [{ frac {R left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {3}} {3!} } - left ({ frac {s} {C}} right) ^ {2} left [{ frac {R left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {5 }} {5!}} - left ({ frac {s} {C}} right) ^ {2} left [{ frac {R left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {7}} {7!}} - cdots right] right] right]. end {выравнивается}}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

В джива теперь можно вычислить по следующей схеме:

джива = s − (s / C)³ [ (2220′ 39′′ 40′′′) − (s / C)² [ (273′ 57′′ 47′′′) − (s / C)² [ (16′ 05′′ 41′′′) − (s / C)²[ (33′′ 06′′′) − (s / C)² (44′′′ ) ] ] ] ].

Это дает приближение джива своим многочленом Тейлора 11-го порядка. Он включает только одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему следующими словами (перевод стиха 2.437 на Юкти-дипика):

ви-дван, ту-нна-ба-ла, ка-ви-ша-ни-ча-йа, са-рва-ртха-ши-ла-стхи-ро, ни-рви-ддха-нга-на-ре- ндра-ранг. Последовательно умножьте эти пять чисел по порядку на квадрат дуги, деленный на четверть окружности (5400 ′), и вычтите из следующего числа. (Продолжайте этот процесс с полученным результатом и следующим числом.) Умножьте конечный результат на куб дуги, разделенный на четверть окружности, и вычтите из дуги.

Косинусный ряд Мадхавы

По словам Мадхавы

Ряд косинусов Мадхавы изложен в стихах 2.442 и 2.443 в Юкти-дипика комментарий (Тантрасамграха-вьяхья) к Шанкара Вариар. Далее следует перевод этих стихов.

Умножьте квадрат дуги на единицу измерения (т.е. радиус) и возьмите результат повторения этого (любое количество раз). Разделите (каждый из приведенных выше числителей) на квадрат последовательных четных чисел, уменьшенных на это число и умноженных на квадрат радиуса. Но первый член (сейчас) (тот, который есть) делится на удвоенный радиус. Поместите последовательные полученные таким образом результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного. Вместе они дают шару в том виде, в каком они собраны в стихе, начинающемся со стена, стри и т. Д.

Рендеринг в современных обозначениях

Позволять р обозначим радиус круга и s длина дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

${ displaystyle r cdot s ^ {2}, qquad r cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad r cdot s ^ {2} cdot s ^ {2} cdot s ^ {2}, qquad cdots}$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

${ displaystyle r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}}, qquad r cdot { frac {s ^ {2}} { (2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}}, qquad r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) г ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} -6) г ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Поместите дугу и последовательные полученные таким образом результаты один под другим и вычтите каждый из вышеприведенного, чтобы получить Сара:

${ displaystyle { text {sara}} = r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} - left [r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ { 2}}} - left [r cdot { frac {s ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} cdot { frac {s ^ {2}} {(6 ^ {2} -6) r ^ {2}}} - cdots верно-верно]}$

Преобразование в текущие обозначения

Позволять θ быть углом между дугой s в центре круга. потом s = rθ и Сара = р(1 - cos θ). Подставляя их в последнее выражение и упрощая, получаем

${ displaystyle 1- cos theta = { frac { theta ^ {2}} {2!}} - { frac { theta ^ {4}} {4!}} + { frac { theta ^ {6}} {6!}} + Quad cdots}$

что дает разложение функции косинуса в бесконечный степенной ряд.

Переформулировка Мадхавы для числовых вычислений

Последняя строчка в стихе 'собранные вместе в стихе, начинающемся со stena, stri и т. д.'Является ссылкой на переформулировку, введенную самим Мадхавой, чтобы сделать ряд удобными для простых вычислений для заданных значений дуги и радиуса. Как и в случае синусоидального ряда, Мадхава рассматривает круг, четверть которого составляет 5400 минут ( сказать C минут) и разрабатывает схему для простых вычислений Сара′ S различных дуг такого круга. Позволять р - радиус круга, четверть которого равна C. Тогда, как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава получаетр = 3437′ 44′′ 48′′′.

Выражение Мадхавы для Сара соответствующей любой дуге s круга радиуса р эквивалентно следующему:

${ displaystyle { begin {align} { text {jiva}} & = R cdot { frac {s ^ {2}} {R ^ {2} (2 ^ {2} -2)}} - R cdot { frac {s ^ {4}} {R ^ {4} (2 ^ {2} -2) (4 ^ {2} -4)}} - cdots & = left ({ frac {s} {C}} right) ^ {2} left [{ frac {R left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {2}} {2!}} - left ({ frac {s} {C}} right) ^ {2} left [{ frac {R left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {4} } {4!}} - left ({ frac {s} {C}} right) ^ {2} left [{ frac {R left ({ frac { pi} {2}} right) ^ {6}} {6!}} - cdots right] right] right] end {выравнивается}}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

В Сара теперь можно вычислить по следующей схеме:

Сара = (s / C)² [ (4241′ 09′′ 00′′′) − (s / C)² [ (872′ 03′′ 05 ′′′) − (s / C)² [ (071′ 43′′ 24′′′) − (s / C)²[ (03′ 09′′ 37′′′) − (s / C)² [(05 ′ ′ 12 ′ ′ ′) - (s / C)² (06′′′) ] ] ] ] ]

Это дает приближение Сара своим многочленом Тейлора 12-го порядка. Это также включает в себя одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему следующими словами (перевод стиха 2.438 на Юкти-дипика):

Шесть стен, стрипишуна, сугандхинагануд, бхадрангабхавьясана, минангонарасимха, унадханакритбхурева. Умножьте на квадрат дуги, разделенной на четверть окружности, и вычтите из следующего числа. (Продолжите с результатом и следующим числом.) Окончательный результат будет уткрама-джйа (Знак «R»).

Арктангенсный ряд Мадхавы

По словам Мадхавы

Арктангенсный ряд Мадхавы изложен в стихах 2.206 - 2.209 в Юкти-дипика комментарий (Тантрасамграха-вьяхья) к Шанкара Вариар. Ниже приводится перевод этих стихов.^[11]Джьестадева также дал описание этой серии в Юктибхаса.^[12][13][14]

Теперь, используя тот же аргумент, можно (сделать) определение дуги желаемого синуса. Это выглядит следующим образом: первый результат - это произведение желаемого синуса и радиуса, деленное на косинус дуги. Когда квадрат синуса стал множителем, а квадрат косинуса - делителем, теперь должна быть определена группа результатов из (предыдущих) результатов, начиная с первого. Когда они разделены по порядку на нечетные числа 1, 3 и т. Д., И когда вы вычли сумму четных (пронумерованных) результатов из суммы нечетных (единиц), это должна быть дуга. Здесь меньший из синуса и косинуса должен рассматриваться как желаемый (синус). В противном случае не было бы прекращения результатов, даже если они были повторно (вычислены).

Используя тот же аргумент, можно вычислить окружность и другим способом. Это выглядит следующим образом: Первый результат должен быть равен квадратному корню из квадрата диаметра, умноженному на двенадцать. С этого момента результат должен делиться на три (в) каждый последующий (случай). Когда они делятся по порядку на нечетные числа, начиная с 1, и когда вы вычитаете (четные) результаты из суммы нечетных, (это) должна быть длина окружности.

Рендеринг в современных обозначениях

Позволять s быть дугой искомого синуса (Джя или же джива) у. Позволять р быть радиусом и Икс быть косинусом (Котиджья ).

• Первый результат ${ displaystyle { tfrac {y cdot r} {x}}}$.
• Сформируйте множитель и делитель ${ Displaystyle { tfrac {у ^ {2}} {х ^ {2}}}}$.
• Сформируем группу результатов:

${ displaystyle { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad { frac {y cdot r} {x }} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Они разделены по порядку номерами 1, 3 и так далее:

${ displaystyle { frac {1} {1}} { frac {y cdot r} {x}}, qquad { frac {1} {3}} { frac {y cdot r} {x }} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad { frac {1} {5}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}}, qquad cdots}$

• Сумма нечетных результатов:

${ displaystyle { frac {1} {1}} { frac {y cdot r} {x}} + { frac {1} {5}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots}$

• Сумма четных результатов:

${ displaystyle { frac {1} {3}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + { frac {1} {7}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2 }} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots}$

• Дуга теперь задается

${ displaystyle s = left ({ frac {1} {1}} { frac {y cdot r} {x}} + { frac {1} {5}} { frac {y cdot r) } {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots right ) - left ({ frac {1} {3}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + { frac {1} {7}} { frac {y cdot r} {x}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} cdot { frac {y ^ {2}} {x ^ {2}}} + cdots right)}$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ - угол, образующий дугу s в центре круга. потом s = рθ, Икс = Котиджья = р cos θ и у = Джя = р sin θ. Тогда у / Икс = tan θ. Подставляя их в последнее выражение и упрощая, получаем

• ${ displaystyle theta = tan theta - { frac { tan ^ {3} theta} {3}} + { frac { tan ^ {5} theta} {5}} - { frac { tan ^ {7} theta} {7}} + quad cdots}$.

Положив tan θ = q наконец-то у нас есть

• ${ displaystyle tan ^ {- 1} q = q - { frac {q ^ {3}} {3}} + { frac {q ^ {5}} {5}} - { frac {q ^ {7}} {7}} + quad cdots}$

Еще одна формула длины окружности

Вторая часть цитируемого текста определяет другую формулу для вычисления окружности. c круга диаметром d. Это выглядит следующим образом.

${ displaystyle c = { sqrt {12d ^ {2}}} - { frac { sqrt {12d ^ {2}}} {3 cdot 3}} + { frac { sqrt {12d ^ {2 }}} {3 ^ {2} cdot 5}} - { frac { sqrt {12d ^ {2}}} {3 ^ {3} cdot 7}} + quad cdots}$

С c = π d это можно переформулировать как формулу для вычисления π следующим образом.

${ displaystyle pi = { sqrt {12}} left (1 - { frac {1} {3 cdot 3}} + { frac {1} {3 ^ {2} cdot 5}} - { frac {1} {3 ^ {3} cdot 7}} + quad cdots right)}$

Это получается заменой q = ${ displaystyle 1 / { sqrt {3}}}$ (следовательно θ = π / 6) в разложении по степеням tan⁻¹ q над.

Сравнение сходимости двух серий Мадхавы (одна с √12 темно-синим) и несколько исторических бесконечных серий для π. S_п это приближение после взятия п термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Смотрите также

• Мадхава Сангамаграмы
• Таблица синусов Мадхавы
• Аппроксимация Паде
• Серия Тейлор
• Серия Laurent
• Серия Puiseux

Рекомендации

дальнейшее чтение