Переменная полилинейная карта - Википедия - Alternating multilinear map

В математика, более конкретно в полилинейная алгебра, переменная полилинейная карта это многолинейная карта со всеми аргументами, принадлежащими одному векторному пространству (например, билинейная форма или полилинейная форма ), который равен нулю, если любая пара аргументов равна. В более общем смысле, векторное пространство может быть модуль через коммутативное кольцо.

Понятие чередование (или же чередование) используется для получения чередующейся полилинейной карты из любой полилинейной карты со всеми аргументами, принадлежащими одному и тому же пространству.

Определение

Полилинейная карта формы ${ displaystyle f двоеточие V ^ {n} to W}$ как говорят чередование если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

всякий раз, когда существует ${ textstyle 1 leq я leq п-1}$ такой, что ${ Displaystyle х_ {я} = х_ {я + 1}}$ тогда ${ Displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$ .^[1]^[2]
всякий раз, когда существует ${ textstyle 1 leq я neq j leq n}$ такой, что ${ displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$ тогда ${ Displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$ .^[1]^[3]
если ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ находятся линейно зависимый тогда ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0}$ .

Пример

В Алгебра Ли, то Кронштейн лжи - знакопеременное билинейное отображение.

В детерминант матрицы - это полилинейное чередующееся отображение строк или столбцов матрицы.

Характеристики

Если какой-либо компонент Икс_я чередующейся полилинейной карты заменяется на Икс_я + c x_j для любого j ≠ я и c в базе звенеть р, то значение этой карты не изменяется.^[3]
Всякое чередующееся полилинейное отображение антисимметрично.^[4]
Если п! это единица измерения в базовом кольце р, то каждый антисимметричный п-молилинейная форма перемежается.

Чередование

Учитывая полилинейную карту вида ${ displaystyle f двоеточие V ^ {n} to W}$ , переменное полилинейное отображение ${ displaystyle g двоеточие V ^ {n} to W}$ определяется ${ displaystyle g (x_ {1}, ldots, x_ {n}): = sum _ { sigma in S_ {n}} operatorname {sgn} ( sigma) f (x _ { sigma (1 )}, ldots, x _ { sigma (n)})}$ считается чередование из ${ displaystyle f}$ .

Характеристики

Чередование п-моллинейная переменная карта п! раз сам.
Чередование симметричная карта равно нулю.
Чередование билинейная карта билинейный. В частности, чередование любых коцикл билинейный. Этот факт играет решающую роль в выявлении второго группа когомологий из решетка с группа чередования билинейные формы на решетке.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Lang 2002 С. 511–512.
^ Бурбаки 2007, п. А III.80, §4.
^ ^а ^б Даммит и Фут 2004, п. 436.
^ Ротман 1995, п. 235.