Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии - Laplace operators in differential geometry

В дифференциальная геометрия существует ряд линейных, эллиптический дифференциальные операторы носящий имя Лапласиан. В этой статье представлен обзор некоторых из них.

Связь лапласиана

В связь лапласиана, также известный как грубый лапласиан, - дифференциальный оператор, действующий на различные тензорные расслоения многообразия, определяемый в терминах Риманов - или же псевдориманов метрика. Применительно к функциям (т. Е. Тензорам ранга 0) лапласиан связи часто называют Оператор Лапласа – Бельтрами. Он определяется как след вторая ковариантная производная:

${ displaystyle Delta T = { text {tr}} ; nabla ^ {2} T,}$

куда Т любой тензор, ${ displaystyle nabla}$ это Леви-Чивита связь связанный с метрикой, и трасса берется по отношению к метрике. Напомним, что вторая ковариантная производная от Т определяется как

${ displaystyle nabla _ {X, Y} ^ {2} T = nabla _ {X} nabla _ {Y} T- nabla _ { nabla _ {X} Y} T.}$

Обратите внимание, что с этим определением лапласиан связности имеет отрицательное значение. спектр. На функциях это согласуется с оператором, заданным как дивергенция градиента.

Если интересующее соединение Леви-Чивита связь можно найти удобную формулу для лапласиана скалярной функции в частных производных по системе координат:

${ Displaystyle Delta phi = | g | ^ {- 1/2} partial _ { mu} left (| g | ^ {1/2} g ^ { mu nu} partial _ { ню} фи право)}$

куда ${ displaystyle phi}$ - скалярная функция, ${ displaystyle | g |}$ - абсолютное значение определителя метрики (необходимо абсолютное значение в псевдориманов случай, например в Общая теория относительности ) и ${ Displaystyle г ^ { му ню}}$ обозначает инверсия метрического тензора.

Ходж лапласиан

В Ходж лапласиан, также известный как Оператор Лапласа – де Рама, - дифференциальный оператор, действующий на дифференциальные формы. (Абстрактно, это оператор второго порядка для каждой внешней степени котангенсный пучок.) Этот оператор определен на любом многообразии, снабженном Риманов - или же псевдориманов метрика.

${ displaystyle Delta = mathrm {d} delta + delta mathrm {d} = ( mathrm {d} + delta) ^ {2}, ;}$

где d - это внешняя производная или дифференциал и δ это кодифференциальный. Лапласиан Ходжа на компактном многообразии имеет неотрицательный спектр.

Можно также считать, что лапласиан связности действует на дифференциальные формы, ограничивая его действием на кососимметричные тензоры. Лапласиан связности отличается от лапласиана Ходжа с помощью Фирменный стиль Weitzenböck.

Бохнер лапласиан

В Бохнер лапласиан определяется иначе, чем лапласиан связи, но оказывается, что они отличаются только знаком, если первое определено. Позволять M - компактное ориентированное многообразие с метрикой. Позволять E быть векторным расслоением над M оснащен метрикой волокна и совместимым соединением, ${ displaystyle nabla}$. Эта связь порождает дифференциальный оператор

${ displaystyle nabla: Gamma (E) rightarrow Gamma (T ^ {*} M otimes E)}$

куда ${ displaystyle Gamma (E)}$ обозначает гладкие участки E, и Т^*М - это котангенсный пучок из M. Можно взять ${ displaystyle L ^ {2}}$-соединение с ${ displaystyle nabla}$, дающий дифференциальный оператор

${ displaystyle nabla ^ {*}: Gamma (T ^ {*} M otimes E) rightarrow Gamma (E).}$

В Бохнер лапласиан дан кем-то

${ displaystyle Delta = nabla ^ {*} nabla}$

который является оператором второго порядка, действующим на сечениях векторного расслоения E. Обратите внимание, что лапласиан связи и лапласиан Бохнера различаются только знаком:

${ displaystyle nabla ^ {*} nabla = - { text {tr}} , nabla ^ {2}}$

Лихнерович лапласиан

В Лихнерович лапласиан^[1] определяется на симметричных тензорах, взяв ${ displaystyle nabla: Gamma ( operatorname {Sym} ^ {k} (TM)) to Gamma ( operatorname {Sym} ^ {k + 1} (TM))}$ быть симметризованной ковариантной производной. Тогда лапласиан Лихнеровича определяется как ${ displaystyle Delta _ {L} = nabla ^ {*} nabla}$, куда ${ displaystyle nabla ^ {*}}$ является формальным сопряженным. Лапласиан Лихнеровича отличается от обычного тензорного лапласиана на Формула Вайтценбока с участием Тензор кривизны Римана, и имеет естественное применение при изучении Риччи поток и предписанная задача кривизны Риччи.

Конформный лапласиан

На Риманово многообразие, можно определить конформный лапласиан как оператор на гладких функциях; он отличается от оператора Лапласа – Бельтрами членом, включающим скалярная кривизна базового показателя. В измерении п ≥ 3, конформный лапласиан, обозначаемый L, действует на гладкую функцию ты к

${ displaystyle Lu = -4 { frac {n-1} {n-2}} Delta u + Ru,}$

где Δ - оператор Лапласа-Бельтрами (отрицательного спектра), а р - скалярная кривизна. Этот оператор часто появляется при изучении того, как скалярная кривизна ведет себя при конформной замене римановой метрики. Если п ≥ 3 и грамм метрика и ты является гладкой положительной функцией, то конформный метрика

${ Displaystyle { тильда {г}} = и ^ {4 / (п-2)} г ,}$

имеет скалярную кривизну, задаваемую

${ Displaystyle { тильда {R}} = и ^ {- (п + 2) / (п-2)} Лю. ,}$

Смотрите также

• Фирменный стиль Weitzenböck

Рекомендации