Вторая ковариантная производная - Википедия - Second covariant derivative

В математических разделах дифференциальная геометрия и векторное исчисление, то второй ковариантная производная, или ковариантная производная второго порядка, векторного поля - производная от его производной по двум другим касательный вектор поля.

Определение

Формально, учитывая (псевдо) -риманову многообразие (M, грамм) связанный с векторный набор E → M, пусть ∇ обозначает Леви-Чивита связь заданный метрикой грамм, и обозначим через Γ (E) пространство гладкий разделы общей площади E. Обозначим через Т^*M то котангенсный пучок из M. Тогда вторую ковариантную производную можно определить как сочинение из двух ∇ следующим образом: ^[1]

${ displaystyle Gamma (E) { stackrel { nabla} { longrightarrow}} Gamma (T ^ {*} M otimes E) { stackrel { nabla} { longrightarrow}} Gamma (T ^ {*} М время T ^ {*} М раз E).}$

Например, данные векторные поля ты, v, ш, Второй ковариантная производная можно записать как

${ displaystyle ( nabla _ {u, v} ^ {2} w) ^ {a} = u ^ {c} v ^ {b} nabla _ {c} nabla _ {b} w ^ {a} }$

используя обозначение абстрактного индекса. Также несложно проверить, что

${ displaystyle ( nabla _ {u} nabla _ {v} w) ^ {a} = u ^ {c} nabla _ {c} v ^ {b} nabla _ {b} w ^ {a} = u ^ {c} v ^ {b} nabla _ {c} nabla _ {b} w ^ {a} + (u ^ {c} nabla _ {c} v ^ {b}) nabla _ {b} w ^ {a} = ( nabla _ {u, v} ^ {2} w) ^ {a} + ( nabla _ { nabla _ {u} v} w) ^ {a}.}$

Таким образом

${ displaystyle nabla _ {u, v} ^ {2} w = nabla _ {u} nabla _ {v} w- nabla _ { nabla _ {u} v} w.}$

Когда тензор кручения равен нулю, так что ${ Displaystyle [и, v] = набла _ {и} v- набла _ {v} и}$, мы можем использовать этот факт, чтобы написать Тензор кривизны Римана в качестве ^[2]

${ displaystyle R (u, v) w = nabla _ {u, v} ^ {2} w- nabla _ {v, u} ^ {2} w.}$

Аналогичным образом можно получить вторую ковариантную производную функции ж в качестве

${ displaystyle nabla _ {u, v} ^ {2} f = u ^ {c} v ^ {b} nabla _ {c} nabla _ {b} f = nabla _ {u} nabla _ {v} f- nabla _ { nabla _ {u} v} f.}$

Опять же, для связности Леви-Чивиты без кручения и для любых векторных полей ты и v, когда мы кормим функцию ж в обе стороны

${ displaystyle nabla _ {u} v- nabla _ {v} u = [u, v]}$

мы нашли

${ displaystyle ( nabla _ {u} v- nabla _ {v} u) (f) = [u, v] (f) = u (v (f)) - v (u (f)).}$.

Это можно переписать как

${ displaystyle nabla _ { nabla _ {u} v} f- nabla _ { nabla _ {v} u} f = nabla _ {u} nabla _ {v} f- nabla _ {v } nabla _ {u} f,}$

так что у нас есть

${ displaystyle nabla _ {u, v} ^ {2} f = nabla _ {v, u} ^ {2} f.}$

То есть значение второй ковариантной производной функции не зависит от порядка взятия производных.

Примечания