Фирменный стиль Weitzenböck - Weitzenböck identity
В математика, в частности в дифференциальная геометрия, математическая физика, и теория представлений а Фирменный стиль Weitzenböck, названный в честь Роланд Вайтценбёк, выражает связь между двумя эллиптические операторы на многообразие с тем же основным символом. (Однако происхождение этой терминологии кажется сомнительным, поскольку нет никаких доказательств того, что такие тождества когда-либо появлялись в работе Вайтценбека.) Обычно формулы Вайтценбека применяются для грамм-инвариантные самосопряженные операторы между векторными расслоениями, ассоциированные с некоторыми главный грамм-пучок, хотя точные условия, при которых существует такая формула, сформулировать трудно. Эта статья посвящена трем примерам тождеств Вайтценбека: из римановой геометрии, геометрии спина и комплексного анализа.
Риманова геометрия
В Риманова геометрия есть два понятия Лапласиан на дифференциальные формы над ориентированным компактным римановым многообразием M. Первое определение использует оператор дивергенции δ определяется как формальный сопряженный оператор де Рама d:
куда α есть ли п-форма и β есть ли (п + 1) -форма, и - метрика, индуцированная на расслоении (п + 1) -формы. Обычный форма лапласиана тогда дается
С другой стороны, Леви-Чивита связь поставляет дифференциальный оператор
где ΩпM это связка п-форм. В Бохнер лапласиан дан кем-то
куда является соплеменником .
Формула Вайтценбека утверждает, что
куда А - линейный оператор нулевого порядка, включающий только кривизну.
Точная форма А дается с точностью до общего знака в зависимости от соглашений о кривизне
куда
- р - тензор кривизны Римана,
- Ric - тензор Риччи,
- - карта, которая представляет собой произведение клина 1-формы и п-форму и дает (п+1) -форма,
- универсальный вывод, обратный к θ по 1-классам.
Геометрия вращения
Если M ориентированный спиновый коллектор с Оператор Дирака ð, то можно составить спиновый лапласиан ∆ = ð2 на спиновой связке. С другой стороны, связность Леви-Чивиты распространяется на спиновое расслоение и дает дифференциальный оператор
Как и в случае римановых многообразий, пусть . Это еще один самосопряженный оператор и, кроме того, имеет тот же главный символ, что и спиновый лапласиан. Формула Вайтценбека дает:
куда Sc - скалярная кривизна. Этот результат также известен как Формула Лихнеровича.
Сложная дифференциальная геометрия
Если M компактный Кэлерово многообразие, существует формула Вайтценбека, связывающая -Лапласианский (см. Комплекс Дольбо ) и евклидова лапласиана на (п,q) -формы. В частности, пусть
- , и
- в единой системе отсчета в каждой точке.
Согласно формуле Вайтценбека, если , тогда
куда - оператор нулевого порядка, связанный с кривизной. Конкретно,
- если в унитарной системе отсчета, то
- с k в s-место.
Другие идентичности Weitzenböck
- В конформная геометрия существует формула Вайтценбека, связывающая конкретную пару дифференциальных операторов, определенных на пучок тракторов. См. Брэнсон Т. и Говер А.Р. «Конформно инвариантные операторы, дифференциальные формы, когомологии и обобщение Q-кривизны», Связь в дифференциальных уравнениях с частными производными, 30 (2005) 1611–1669.
Смотрите также
- Личность Бохнера
- Тождество Бохнера – Кодаира – Накано
- Лапласовские операторы в дифференциальной геометрии
Рекомендации
- Гриффитс, Филипп; Харрис, Джо (1978), Принципы алгебраической геометрии, Wiley-Interscience (опубликовано в 1994 г.), ISBN 978-0-471-05059-9