Фирменный стиль Weitzenböck - Weitzenböck identity

В математика, в частности в дифференциальная геометрия, математическая физика, и теория представлений а Фирменный стиль Weitzenböck, названный в честь Роланд Вайтценбёк, выражает связь между двумя эллиптические операторы на многообразие с тем же основным символом. (Однако происхождение этой терминологии кажется сомнительным, поскольку нет никаких доказательств того, что такие тождества когда-либо появлялись в работе Вайтценбека.) Обычно формулы Вайтценбека применяются для грамм-инвариантные самосопряженные операторы между векторными расслоениями, ассоциированные с некоторыми главный грамм-пучок, хотя точные условия, при которых существует такая формула, сформулировать трудно. Эта статья посвящена трем примерам тождеств Вайтценбека: из римановой геометрии, геометрии спина и комплексного анализа.

Риманова геометрия

В Риманова геометрия есть два понятия Лапласиан на дифференциальные формы над ориентированным компактным римановым многообразием M. Первое определение использует оператор дивергенции δ определяется как формальный сопряженный оператор де Рама d:

куда α есть ли п-форма и β есть ли (п + 1) -форма, и - метрика, индуцированная на расслоении (п + 1) -формы. Обычный форма лапласиана тогда дается

С другой стороны, Леви-Чивита связь поставляет дифференциальный оператор

где ΩпM это связка п-форм. В Бохнер лапласиан дан кем-то

куда является соплеменником .

Формула Вайтценбека утверждает, что

куда А - линейный оператор нулевого порядка, включающий только кривизну.

Точная форма А дается с точностью до общего знака в зависимости от соглашений о кривизне

куда

  • р - тензор кривизны Римана,
  • Ric - тензор Риччи,
  • - карта, которая представляет собой произведение клина 1-формы и п-форму и дает (п+1) -форма,
  • универсальный вывод, обратный к θ по 1-классам.

Геометрия вращения

Если M ориентированный спиновый коллектор с Оператор Дирака ð, то можно составить спиновый лапласиан ∆ = ð2 на спиновой связке. С другой стороны, связность Леви-Чивиты распространяется на спиновое расслоение и дает дифференциальный оператор

Как и в случае римановых многообразий, пусть . Это еще один самосопряженный оператор и, кроме того, имеет тот же главный символ, что и спиновый лапласиан. Формула Вайтценбека дает:

куда Sc - скалярная кривизна. Этот результат также известен как Формула Лихнеровича.

Сложная дифференциальная геометрия

Если M компактный Кэлерово многообразие, существует формула Вайтценбека, связывающая -Лапласианский (см. Комплекс Дольбо ) и евклидова лапласиана на (п,q) -формы. В частности, пусть

, и
в единой системе отсчета в каждой точке.

Согласно формуле Вайтценбека, если , тогда

куда - оператор нулевого порядка, связанный с кривизной. Конкретно,

если в унитарной системе отсчета, то
с k в s-место.

Другие идентичности Weitzenböck

  • В конформная геометрия существует формула Вайтценбека, связывающая конкретную пару дифференциальных операторов, определенных на пучок тракторов. См. Брэнсон Т. и Говер А.Р. «Конформно инвариантные операторы, дифференциальные формы, когомологии и обобщение Q-кривизны», Связь в дифференциальных уравнениях с частными производными, 30 (2005) 1611–1669.

Смотрите также

Рекомендации

  • Гриффитс, Филипп; Харрис, Джо (1978), Принципы алгебраической геометрии, Wiley-Interscience (опубликовано в 1994 г.), ISBN  978-0-471-05059-9