Формула Лихнеровича - Lichnerowicz formula

В Формула Лихнеровича (также известный как Формула Лихнеровича – Вайтценбека) является фундаментальным уравнением при анализе спиноры на псевдоримановы многообразия. В измерении 4 он образует кусок Теория Зайберга – Виттена и другие аспекты калибровочная теория. Он назван в честь известных математиков. Андре Лихнерович кто доказал это в 1963 году, и Роланд Вайтценбёк. Формула дает соотношение между Оператор Дирака и Оператор Лапласа – Бельтрами действующие на спиноры, в которых скалярная кривизна появляется естественным образом. Результат важен, потому что он обеспечивает интерфейс между результатами исследования эллиптические уравнения в частных производных, результаты о скалярной кривизне и результаты о спинорах и спиновых структурах.

Учитывая спиновая структура на псевдоримановом многообразии M и спинорный пучок Sформула Лихнеровича утверждает, что на раздел ψ из S,

${displaystyle D ^ {2} psi = abla ^ {*} abla psi + {frac {1} {4}} имя оператора {Sc} psi}$

где Sc обозначает скалярная кривизна и ${displaystyle abla ^ {*} abla}$ это связь лапласиана. В более общем плане, учитывая сложная спиновая структура на псевдоримановом многообразии M, а спинорный пучок W^± с разделом ${displaystyle phi}$, и связь А на его детерминантный линейный пучок L, формула Лихнеровича имеет вид

${displaystyle D_ {A} ^ {*} D_ {A} phi = abla _ {A} ^ {*} abla _ {A} phi + {frac {1} {4}} Rphi + {frac {1} {2 }} langle F_ {A} ^ {+}, угол фи.}$

Вот, ${displaystyle D_ {A}}$ это Оператор Дирака ${displaystyle D_ {A}: Gamma (W ^ {+}) o Gamma (W ^ {-}),}$ и ${displaystyle abla _ {A}}$ это ковариантная производная связанный с связь А, ${displaystyle abla _ {A}: Гамма (W ^ {+}) или Гамма (W ^ {+} иногда T_ {M} ^ {*})}$. ${displaystyle R}$ - обычная скалярная кривизна (сжатие Тензор Риччи ) и ${displaystyle F_ {A} ^ {+}}$ это самодвойственный часть кривизны A. Звездочки обозначают сопряженное к величине и скобкам ${displaystyle langle, angle}$ обозначить Клиффорд действие.

См. Также1

• Формула Вайтценбека

использованная литература

• Лихнерович, А. (1963), "Гармоники спинеров", C. R. Acad. Sci. Париж, 257: 7–9
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08542-5
• ЛеБрун, Клод (2002), Метрики Эйнштейна, 4-многообразия и дифференциальная топология
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество