Координаты линии - Line coordinates

В геометрия, координаты линии используются для указания позиции линия как координаты точки (или просто координаты ) используются для указания положения точки.

Линии в самолете

Есть несколько возможных способов указать положение линии на плоскости. Простой способ - пара (м, б) где уравнение линии у = mx + б. Здесь м это склон и б это у-перехват. Эта система определяет координаты для всех линий, которые не являются вертикальными. Тем не менее, более распространено и проще алгебраически использовать координаты (л, м) где уравнение линии лк + мой + 1 = 0. Эта система определяет координаты для всех линий, кроме тех, которые проходят через начало координат. Геометрические интерпретации л и м являются отрицательными обратными величине Икс и у-перехват соответственно.

Исключение линий, проходящих через начало координат, можно решить с помощью системы трех координат. (л, м, п) чтобы указать строку, в которой находится уравнение, лк + мой + п = 0. Здесь л и м не оба могут равняться 0. В этом уравнении только отношения между л, м и п значимы, другими словами, если координаты умножаются на ненулевой скаляр, то представленная линия остается той же самой. Так (л, м, п) это система однородные координаты для линии.

Если точки в реальная проективная плоскость представлены однородными координатами (Икс, у, z), уравнение линии имеет вид лк + мой + нз = 0, при условии (л, м, п) ≠ (0,0,0) . В частности, координата линии (0, 0, 1) представляет линию z = 0, что является линия на бесконечности в проективная плоскость. Координаты линии (0, 1, 0) и (1, 0, 0) представляют Икс и у-оси соответственно.

Тангенциальные уравнения

Как только ж(Икс, у) = 0 может представлять собой изгиб как подмножество точек на плоскости уравнение φ (л, м) = 0 представляет собой подмножество прямых на плоскости. Набор прямых на плоскости можно, в абстрактном смысле, рассматривать как набор точек на проективной плоскости, двойной оригинального самолета. Уравнение φ (л, м) = 0 представляет собой кривую в дуальной плоскости.

Для кривой ж(Икс, у) = 0 на плоскости, касательные кривой образуют кривую в двойственном пространстве, называемую двойная кривая. Если φ (л, м) = 0 - уравнение двойственной кривой, тогда оно называется тангенциальное уравнение, для исходной кривой. Заданное уравнение φ (л, м) = 0 представляет собой кривую в исходной плоскости, определяемую как конверт линий, удовлетворяющих этому уравнению. Аналогично, если φ (л, м, п) это однородная функция тогда φ (л, м, п) = 0 представляет собой кривую в двойственном пространстве, заданную в однородных координатах, и может быть названо однородным касательным уравнением огибающей кривой.

Тангенциальные уравнения полезны при изучении кривых, определенных как огибающие, точно так же, как декартовы уравнения полезны при изучении кривых, определенных как локусы.

Касательное уравнение точки

Линейное уравнение в линейных координатах имеет вид аль + бм + c = 0, где а, б и c являются константами. Предполагать (л, м) - линия, удовлетворяющая этому уравнению. Если c не 0 тогда лк + мой + 1 = 0, где Икс = а/c и у = б/c, поэтому каждая линия, удовлетворяющая исходному уравнению, проходит через точку (Икс, у). И наоборот, любая строка через (Икс, у) удовлетворяет исходному уравнению, поэтому аль + бм + c = 0 - уравнение множества прямых через (Икс, у). Для данной точки (Икс, у), уравнение множества прямых, хотя и лк + мой + 1 = 0, поэтому его можно определить как касательное уравнение точки. Аналогично для точки (Икс, у, z), заданное в однородных координатах, уравнение точки в однородных касательных координатах имеет вид лк + мой + нз = 0.

Формулы

Пересечение прямых (л₁, м₁) и (л₂, м₂) является решением линейных уравнений

${displaystyle l_ {1} x + m_ {1} y + 1 = 0}$

${displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + 1 = 0.}$

К Правило Крамера, решение

${displaystyle x = {m_ {1} -m_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}} ,, y = - {frac {l_ {1} - l_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}.}$

Линии (л₁, м₁), (л₂, м₂), и (л₃, м₃) находятся одновременный когда детерминант

${displaystyle {egin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & 1 l_ {2} & m_ {2} & 1 l_ {3} & m_ {3} & 1end {vmatrix}} = 0.}$

Для однородных координат пересечение прямых (л₁, м₁, п₁) и (л₂, м₂, п₂) является

${displaystyle (m_ {1} n_ {2} -m_ {2} n_ {1} ,, l_ {2} n_ {1} -l_ {1} n_ {2} ,, l_ {1} m_ {2} - l_ {2} m_ {1}).}$

Линии (л₁, м₁, п₁), (л₂, м₂, п₂) и (л₃, м₃, п₃) находятся одновременный когда детерминант

${displaystyle {egin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & n_ {1} l_ {2} & m_ {2} & n_ {2} l_ {3} & m_ {3} & n_ {3} end {vmatrix}} = 0.}$

Соответственно, координаты строки, содержащей (Икс₁, у₁, z₁) и (Икс₂, у₂, z₂) находятся

${displaystyle (y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} ,, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2} ,, x_ {1} y_ {2} - x_ {2} y_ {1}).}$

Линии в трехмерном пространстве

Для двух заданных точек в реальная проективная плоскость, (Икс₁, у₁, z₁) и (Икс₂, у₂, z₂) три определителя

${displaystyle y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} ,, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2} ,, x_ {1} y_ {2} -x_ {2} г_ {1}}$

определить проективная линия содержащие их.

Аналогично для двух точек в RP³, (Икс₁, у₁, z₁, ш₁) и (Икс₂, у₂, z₂, ш₂), содержащая их строка определяется шестью определителями

${displaystyle x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} ,, x_ {1} z_ {2} -x_ {1} z_ {2} ,, y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1} ,, x_ {1} w_ {2} -x_ {2} w_ {1} ,, y_ {1} w_ {2} -y_ {2} w_ {1} ,, z_ {1 } w_ {2} -z_ {2} w_ {1}.}$

Это основа системы однородных линейных координат в трехмерном пространстве, называемой Координаты Плюккера. Шесть чисел в наборе координат представляют собой линию, только если они удовлетворяют дополнительному уравнению. Эта система отображает пространство линий в трехмерном пространстве на проективное пространство RP⁵, но с дополнительным требованием пространство строк соответствует Кляйн квадрик, который является многообразие четвертого измерения.

В более общем плане строки в п-мерные проективные пространства определяются системой п(п - 1) / 2 однородные координаты, удовлетворяющие набору (п − 2)(п - 3) / 2 условия, в результате получается многообразие размерности 2 (п − 1).

С комплексными числами

Исаак Яглом показал^[1] как двойные числа обеспечить координаты ориентированных линий на евклидовой плоскости, и разделенные комплексные числа формы координаты линии для гиперболическая плоскость. Координаты зависят от наличия происхождения и опорной линии на нем. Тогда, учитывая произвольную линию его координаты находятся из пересечения с опорной линией. Расстояние s от начала координат до пересечения и угол наклона θ между двумя линиями:

${displaystyle z = (an {frac {heta} {2}}) (1 + sepsilon)}$ это двойное число^[1]:81 для евклидовой линии и

${displaystyle z = (an {frac {heta} {2}}) (cosh s + jsinh s)}$ это комплексное число^[1]:118 за линию в самолете Лобачевского.

Поскольку существуют линии ultraparallel опорной линии в плоскости Лобачевского, они нуждаются координаты тоже: Существует единственный общий перпендикуляр, сказать s - расстояние от начала координат до этого перпендикуляра, а d - длина сегмента между ссылкой и данной линией.

${displaystyle z = (anh {frac {d} {2}}) (sinh s + jcosh s)}$ обозначает ультрапараллельную линию.^[1]:118

Движение геометрии линии описывается с помощью дробно-линейные преобразования на соответствующих сложных плоскостях.^[1]:87,123

Смотрите также

• Соглашения по робототехнике

Рекомендации

• Бейкер, Генри Фредерик (1923), Принципы геометрии. Том 3. Твердая геометрия. Квадрики, кубические кривые в пространстве, кубические поверхности., Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета, п. 56, ISBN  978-1-108-01779-4, МИСТЕР  2857520. Переиздано в 2010 г.
• Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию. Кларендон. п. 390.