Координаты Эддингтона – Финкельштейна - Eddington–Finkelstein coordinates

В общая теория относительности, Координаты Эддингтона – Финкельштейна пара системы координат для Геометрия Шварцшильда (например, сферически симметричный черная дыра ), адаптированные к радиальному нулевые геодезические. Нулевые геодезические - это мировые линии из фотоны; радиальные - это те, которые движутся прямо к центральной массе или от нее. Они названы в честь Артур Стэнли Эддингтон^[1] и Дэвид Финкельштейн.^[2] Хотя кажется, что они вдохновили идею, ни один из них никогда не записывал эти координаты или метрику в этих координатах. Роджер Пенроуз^[3] кажется, он был первым, кто записал нулевую форму, но приписывает это упомянутой выше статье Финкельштейна, а в его эссе на премию Адамса позже в том же году - Эддингтону и Финкельштейну. Наиболее влиятельные люди Мизнер, Торн и Уиллер в своей книге Гравитация, обратитесь к нулевым координатам с этим именем.

В этих системах координат движущиеся наружу (внутрь) радиальные лучи света (каждый из которых следует нулевой геодезической) определяют поверхности постоянного «времени», в то время как радиальная координата является обычной координатой области, так что поверхности симметрии вращения имеют площадь 4πр². Одним из преимуществ этой системы координат является то, что она показывает, что кажущаяся сингулярность на Радиус Шварцшильда это всего лишь координатная особенность и это не настоящая физическая особенность. Хотя этот факт был признан Финкельштейном, он не был признан (или, по крайней мере, не прокомментирован) Эддингтоном, основной целью которого было сравнение и сопоставление сферически-симметричных решений в Теория гравитации Уайтхеда и версия теории относительности Эйнштейна.

Метрика Шварцшильда

В Координаты Шварцшильда находятся ${ Displaystyle (т, г, тета, varphi)}$, и в этих координатах хорошо известна метрика Шварцшильда:

${ displaystyle ds ^ {2} = - left (1 - { frac {2GM} {r}} right) , dt ^ {2} + left (1 - { frac {2GM} {r} } right) ^ {- 1} , dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2}}$

куда

${ Displaystyle d Omega ^ {2} Equiv d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2}.}$

- стандартная риманова метрика 2-сферы.

Обратите внимание, что здесь используются условные обозначения метрическая подпись из (- + + +) и натуральные единицы куда c = 1 - безразмерная скорость света, грамм в гравитационная постоянная, и M - характерная масса геометрии Шварцшильда.

Координаты черепахи

Координаты Эддингтона – Финкельштейна основаны на координате черепахи - названии, которое происходит от одного из Зенон Элейский парадоксы в воображаемой гонке «быстроногих» Ахилл и черепаха.

Координата черепахи ${ displaystyle r ^ {*}}$ определено:

${ displaystyle r ^ {*} = r + 2GM ln left | { frac {r} {2GM}} - 1 right |.}$

чтобы удовлетворить:

${ displaystyle { frac {dr ^ {*}} {dr}} = left (1 - { frac {2GM} {r}} right) ^ {- 1}.}$

Координата черепахи ${ displaystyle r ^ {*}}$ подходы ${ displaystyle - infty}$ в качестве ${ displaystyle r}$ приближается к радиусу Шварцшильда ${ displaystyle 2GM}$.

Когда какой-либо зонд (например, световой луч или наблюдатель) приближается к горизонту событий черной дыры, его временная координата Шварцшильда возрастает до бесконечности. Выходящие нулевые лучи в этой системе координат имеют бесконечное изменение в т на выезде с горизонта. Координата черепахи предназначена для бесконечного роста с соответствующей скоростью, чтобы нейтрализовать это сингулярное поведение в системах координат, построенных из нее.

Увеличение временной координаты до бесконечности по мере приближения к горизонту событий является причиной того, почему информация никогда не может быть получена обратно от любого зонда, отправленного через такой горизонт событий. И это несмотря на то, что сам зонд, тем не менее, может перемещаться за горизонт. Это также является причиной того, что пространственно-временная метрика черной дыры, выраженная в координатах Шварцшильда, становится сингулярной на горизонте - и, таким образом, не может полностью отобразить траекторию падающего зонда.

Метрическая

В входящие координаты Эддингтона – Финкельштейна получаются заменой координаты т с новой координатой ${ displaystyle v = t + r ^ {*}}$. В этих координатах метрику Шварцшильда можно записать как

${ displaystyle ds ^ {2} = - left (1 - { frac {2GM} {r}} right) dv ^ {2} +2 , dv , dr + r ^ {2} d Omega ^ {2}.}$

где снова ${ displaystyle d Omega ^ {2} = d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2}}$- стандартная риманова метрика на двумерной сфере единичного радиуса.

Точно так же исходящие координаты Эддингтона – Финкельштейна получаются заменой т с нулевой координатой ${ Displaystyle и = т-р ^ {*}}$. Тогда метрика определяется как

${ displaystyle ds ^ {2} = - left (1 - { frac {2GM} {r}} right) du ^ {2} -2 , du , dr + r ^ {2} d Omega ^ {2}.}$

В обеих этих системах координат метрика явно неособая на радиусе Шварцшильда (даже если одна компонента обращается в нуль на этом радиусе, определитель метрики по-прежнему не равен нулю, и обратная метрика не имеет членов, которые расходятся там.)

Обратите внимание, что для радиальных нулевых лучей v = const или же ${ displaystyle v-2r ^ {*}}$= const или эквивалентно ${ displaystyle u + 2r ^ {*}}$= const или же u = const у нас есть дв / др и du / dr приближаются к 0 и ± 2 в целом р, а не ± 1, как можно было бы ожидать, если рассматривать ты или же v как «время». При построении диаграмм Эддингтона – Финкельштейна поверхности постоянного ты или же v обычно рисуются в виде конусов, с ты или же v постоянные линии, нарисованные как наклонные под углом 45 градусов, а не как плоскости (см., например, вставку 31.2 из MTW ). Некоторые источники вместо этого принимают ${ displaystyle t '= t pm (r ^ {*} - r) ,}$, соответствующие плоским поверхностям на таких диаграммах. С точки зрения этого ${ displaystyle t '}$ метрика становится

${ displaystyle ds ^ {2} = - left (1 - { frac {2GM} {r}} right) dt '^ {2} pm { frac {4GM} {r}} , dt' , dr + left (1 + { frac {2GM} {r}} right) , dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2} = (- dt '^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2}) + { frac {2GM} {r}} (dt ' pm dr) ^ {2}}$

что Минковский в целом р. (Это были координаты времени и метрики, которые Эддингтон и Финкельштейн представили в своих статьях.)

Это сюжет световых конусов v-r координаты, где v ось представляет собой прямую, наклоненную влево. Синяя линия - пример одного из v постоянные линии. На графике показаны световые конусы при различных значениях р. Зеленые линии разные ты постоянные линии. Обратите внимание, что они подходят r = 2GM асимптотически. В этих координатах горизонт - это горизонт черной дыры (ничего не может выйти). Диаграмма для u-r координаты - та же диаграмма, перевернутая и с ты и v поменяли местами на схеме. В этом случае горизонт - это белая дыра горизонт, из которого материя и свет могут исходить, но ничто не может войти.

Координаты Эддингтона – Финкельштейна все еще неполны и могут быть расширены. Например, движущиеся наружу времениподобные геодезические, определяемые (с τ подходящее время)

${ Displaystyle г ( тау) = { sqrt {2GM тау}}}$

${ Displaystyle { begin {выровнен} v ( tau) & = int { frac {r ( tau)} {r ( tau) -2GM}} , d tau & = C + tau +2 { sqrt {2GM tau}} + 4GM ln left ({ sqrt { frac { tau} {2GM}}} - 1 right) end {выровнено}}}$

имеет v(τ) → −∞ при τ → 2GM. Т.е. эта времениподобная геодезическая имеет конечную собственную длину в прошлое, где она выходит из горизонта (р = 2GM) когда v становится минус бесконечность. Области для конечных v и р < 2GM область отличается от конечной ты и р < 2GM. Горизонт р = 2GM и конечный v (горизонт черной дыры) отличается от горизонта с р = 2GM и конечный ты (в белая дыра горизонт).

Метрика в Координаты Крускала – Секереса покрывает все расширенное пространство-время Шварцшильда в единой системе координат. Его главный недостаток состоит в том, что в этих координатах метрика зависит как от временных, так и от пространственных координат. В системе Эддингтона – Финкельштейна, как и в координатах Шварцшильда, метрика не зависит от «времени» (либо т в Шварцшильде или ты или же v в различных координатах Эддингтона – Финкельштейна), но ни одна из них не покрывает все пространство-время.

Координаты Эддингтона – Финкельштейна имеют некоторое сходство с координатами Координаты Гуллстранда – Пенлеве в том, что оба они не зависят от времени и проникают (имеют регулярный характер) либо в будущее (черная дыра), либо в прошлое (белая дыра) горизонты. Оба не диагональны (гиперповерхности постоянного «времени» не ортогональны гиперповерхностям постоянного «времени»). р.) Последние имеют плоскую пространственную метрику, в то время как пространственные гиперповерхности первых («постоянная времени») равны нулю и имеют ту же метрику, что и метрика нулевого конуса в пространстве Минковского (${ displaystyle t = pm r}$ в плоском пространстве-времени).

Смотрите также

• Координаты Шварцшильда
• Координаты Крускала – Секереса
• Координаты Лемэтра
• Координаты Гуллстранда – Пенлеве
• Вайдья метрика

Рекомендации