Сагитта (геометрия) - Википедия - Sagitta (geometry)

Визуализация сагитты

В геометрия, то сагитта (иногда сокращенно провисать^[1]) из дуга окружности это расстояние от центра дуги до центра ее основания.^[2] Он широко используется в архитектуре при вычислении дуги, необходимой для покрытия определенной высоты и расстояния, а также в оптике, где он используется для определения глубины сферического зеркала или линзы. Название происходит непосредственно от латинский сагитта, что означает стрелку.

Формулы

В следующих уравнениях $s$ обозначает сагитту (глубину или высоту дуги), $р$ равен радиусу круга, а $ℓ$ длина аккорд охватывая основание дуги. В качестве $ℓ / 2$ и $р - s$ две стороны прямоугольный треугольник с $р$ как гипотенуза, то теорема Пифагора дает нам

{ displaystyle r ^ {2} = ( ell / 2) ^ {2} + (r-s) ^ {2}.}

Его можно переставить, чтобы получить любой из трех других:

{ displaystyle s = r - { sqrt {r ^ {2} - {( ell / 2) ^ {2}}}},}

{ displaystyle ell = 2 { sqrt {2rs-s ^ {2}}},}

или же

{ displaystyle r = { frac {s ^ {2} + ( ell / 2) ^ {2}} {2s}} = { frac {s} {2}} + { frac { ell ^ { 2}} {8s}}.}

Сагитту также можно вычислить из Версина функция, для дуги, которая охватывает угол $Δ = 2 θ$ , и совпадает с версиной для единичных окружностей

{ displaystyle s = r operatorname {versin} theta = r left (1- cos theta right) = 2r sin ^ {2} { frac { theta} {2}}.}

Приближение

Когда сагитта мала по сравнению с радиусом, ее можно аппроксимировать формулой

{ displaystyle s приблизительно { гидроразрыва { ell ^ {2}} {8r}}}

.^[2]

В качестве альтернативы, если сагитта небольшая и известны сагитта, радиус и длина хорды, их можно использовать для оценки длины дуги по формуле

{ Displaystyle а приблизительно ell + { гидроразрыва {2s ^ {2}} {г}}}

,

куда $а$ это длина дуги; эта формула была известна китайскому математику Шен Куо, и более точная формула^{[требуется разъяснение ]} также с участием сагитты был разработан два столетия спустя Го Шоуцзин.^[3]

Приложения

Архитекторы, инженеры и подрядчики используют эти уравнения для создания «плоских» дуг, которые используются в изогнутых стенах, сводчатых потолках, мостах и многих других приложениях.

Сагитта также используется в физике, где она используется вместе с длиной хорды для вычисления радиуса кривизны ускоренной частицы. Это используется особенно в пузырьковая камера эксперименты, в которых он используется для определения импульсов распадающихся частиц.

Смотрите также

внешняя ссылка

Расчет сагитты дуги

[Shaneyfelt-1] Шейнифелт, Тед В. "的的 Примечания о кругах, ज्य, & कोज्य: Что такое хаберкозин?". Хило, Гавайи: Гавайский университет. В архиве из оригинала от 19.09.2015. Получено 2015-11-08.

[Woodward_1978-2] а ^б Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия - плоское, твердотельное и аналитическое решение задач. Руководства по решению проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ISBN 978-0-87891-510-1.

[Needham_1959-3] Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небесах и Земле. 3. Издательство Кембриджского университета. п. 39. ISBN 9780521058018.

[1]

[2]

[3]