Произвольно большой - Arbitrarily large

В математика, фразы произвольно большой, произвольно маленький и сколь угодно долго используются в утверждениях, чтобы прояснить тот факт, что объект большой, маленький и длинный с небольшими ограничениями или ограничениями, соответственно.^[1] Использование слова «произвольно» часто встречается в контексте действительные числа (и это подмножества из этого), хотя его значение может отличаться от «достаточно» и «бесконечно».

Примеры

Заявление

"${ displaystyle f (x)}$ неотрицательна при сколь угодно больших ${ displaystyle x}$."

это сокращение для:

"Для каждого реального числа ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle f (x)}$ неотрицательно для некоторого значения ${ displaystyle x}$ лучше чем ${ displaystyle n}$."

В просторечии термин «произвольно длинный» часто используется в контексте последовательности чисел. Например, чтобы сказать, что есть «сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел "не означает, что существует какая-либо бесконечно длинная арифметическая прогрессия простых чисел (ее нет), или что существует какая-либо конкретная арифметическая прогрессия простых чисел, которая в некотором смысле является" произвольно длинной ". Скорее, фраза используется для обозначения к тому, что сколько бы ни было ${ displaystyle n}$ есть, существует некоторая арифметическая прогрессия простых чисел длины не менее ${ displaystyle n}$.^[2]

Подобно произвольному большому, можно также определить фразу "${ Displaystyle P (x)}$ выполняется для сколь угодно малых действительных чисел "следующим образом:^[3]

${ displaystyle forall epsilon in mathbb {R} _ {+}, , exists x in mathbb {R}: | x | < epsilon land P (x)}$

Другими словами:

Каким бы маленьким ни было число, будет число ${ displaystyle x}$ меньше, чем он такой, что ${ Displaystyle P (x)}$ держит.

Произвольно большой против достаточно большого против бесконечно большого

Несмотря на то, что "произвольно большой" похож на "достаточно большой ". Например, хотя и правда, что простые числа могут быть сколь угодно большими (поскольку их бесконечно много из-за Теорема евклида ) неверно, что все достаточно большие числа простые.

Другой пример: утверждение "${ displaystyle f (x)}$ неотрицательна при сколь угодно больших ${ displaystyle x}$. "можно было бы переписать как:

${ displaystyle forall n in mathbb {R} { mbox {,}} существует x in mathbb {R} { mbox {такой, что}} x> n land f (x) geq 0 }$

Однако использование "достаточно большой ", та же фраза становится:

${ displaystyle существует п in mathbb {R} { mbox {такой, что}} forall x in mathbb {R} { mbox {,}} x> n Rightarrow f (x) geq 0 }$

Кроме того, «произвольно большой» также не означает «бесконечно большой ".^[1] Например, хотя простые числа могут быть сколь угодно большими, бесконечно большого простого числа не существует, поскольку все простые числа (как и все другие целые числа) конечны.

В некоторых случаях такие фразы, как "предложение ${ Displaystyle P (x)}$ верно для сколь угодно больших ${ displaystyle x}$"используются в основном для выделения, как в"${ Displaystyle P (x)}$ верно для всех ${ displaystyle x}$, независимо от того, насколько большой ${ displaystyle x}$ есть. "В этих случаях фраза" произвольно большой "не имеет значения, указанного выше (т.е." сколь угодно большое число, будет немного большее число, для которого ${ Displaystyle P (x)}$ все еще держится. "^[4]). Вместо этого использование в этом случае фактически является синонимом слова «все».

Смотрите также

• Достаточно большой
• Математический жаргон

Рекомендации