Аксиомы Биркгофа - Википедия - Birkhoffs axioms

В 1932 г. Г. Д. Биркгоф создал набор из четырех постулаты из Евклидова геометрия в самолете, иногда называемый Аксиомы Биркгофа.[1] Все эти постулаты основаны на основных геометрия что может быть подтверждено экспериментально с помощью шкала и транспортир. Поскольку постулаты строятся на действительные числа, подход аналогичен модель введение в евклидову геометрию.

Система аксиом Биркгофа была использована в учебнике для средней школы Биркгофом и Битли.[2]Эти аксиомы также были изменены Школьная группа по изучению математики обеспечить новый стандарт преподавания геометрии в средней школе, известный как Аксиомы SMSG. Еще несколько учебников в основы геометрии использовать варианты аксиом Биркгофа.[3]

Постулаты

Расстояние между двумя точками А иB обозначается d(А, Б), а угол, образованный тремя точками А, B, C обозначается ∠ ABC.

Постулат I: Постулат линейной меры. Набор точек {А, B, ...} на любой строке можно поставить в соответствие 1: 1 с действительные числа {а, б, ...} так что |б − а| = d(А, Б) по всем пунктам А иB.

Постулат II: постулат точки линии. Есть одна и только одна линия ℓ который содержит любые две заданные различные точки п иQ.

Постулат III: Постулат угловой меры. Набор лучей {ℓ, м, н, ...} через любую точку О можно поставить в соответствие 1: 1 с действительными числами а (мод 2π) так что если А и B баллы (не равны О) из ℓ и м, соответственно, разница ам − аℓ (mod 2π) чисел, связанных с линиями ℓ и м является ∠ AOB. Кроме того, если точка B на м варьируется непрерывно в линию р не содержащий вершину О, номер ам также постоянно меняется.

Постулат IV: Постулат подобия. Учитывая два треугольника ABC и A'B'C ' и некоторые постоянные k > 0 такой, что d(А ', В' ) = kd(А, Б), d(А ', С') = kd(А, С) и ∠ B'A'C ' = ±∠ BAC, тогда d(ДО Н.Э') = kd(ДО Н.Э), ∠ C'B'A ' = ±∠ CBA, и ∠ A'C'B ' = ±∠ ACB.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Биркофф, Джордж Дэвид (1932), «Набор постулатов для геометрии плоскости (на основе масштаба и транспортира)», Анналы математики, 33: 329–345, Дои:10.2307/1968336, HDL:10338.dmlcz / 147209
  2. ^ Биркофф, Джордж Дэвид; Битли, Ральф (2000) [первое издание, 1940], Базовая геометрия (3-е изд.) Американского математического общества, ISBN  978-0-8218-2101-5
  3. ^ Келли, Пол Джозеф; Мэтьюз, Гордон (1981), Неевклидова гиперболическая плоскость: ее структура и согласованность, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90552-9