Особый след - Singular trace

В математике особый след это след на пространстве линейные операторы отделяемого Гильбертово пространство который обращается в нуль на операторах конечный ранг. Особые следы - это особенность бесконечномерных гильбертовых пространств, таких как пространство суммируемые с квадратом последовательности и пространства квадратично интегрируемые функции. Линейные операторы в конечномерном гильбертовом пространстве имеют только нулевой функционал как особый след, поскольку все операторы имеют конечный ранг. Например, матричные алгебры не имеют нетривиальных особых следов и матричный след уникальный след вплоть до масштабирования.

Американский математик Гэри Вайс, а затем британский математик Найджел Калтон в бесконечномерном случае наблюдается наличие нетривиальных особых следов на идеале операторы класса трассировки.^[1][2]Поэтому, в отличие от конечномерного случая, в бесконечных измерениях канонический след оператора это не единственный след вплоть до масштабирования. След оператора - это непрерывное продолжение следа матрицы от операторов конечного ранга ко всем операторам класса следа, а термин сингулярный происходит из того факта, что особый след исчезает там, где след матрицы поддерживается, аналогично особая мера исчезающий там, где поддерживается мера Лебега.

Особые следы измеряют асимптотическое спектральное поведение операторов и нашли применение в некоммутативная геометрия французского математика Ален Конн.^[3][4]В эвристическом плане особый след соответствует способу суммирования чисел а₁, а₂, а₃, ... которая полностью ортогональна или `` сингулярна '' относительно обычной суммы а₁ + а₂ + а₃ + ... Это позволяет математикам суммировать последовательности, подобные гармоническая последовательность (и операторы с аналогичным спектральным поведением), расходящиеся для обычных сумма. Аналогичным образом a (некоммутативный) теория меры или же вероятность теория может быть построена для таких распределений, как Распределение Коши (и операторы с аналогичным спектральным поведением), которые не имеют конечного математического ожидания в обычном смысле.

Источник

К 1950 году французский математик Жак Диксмье, основоположник полуконечной теории алгебры фон Неймана,^[5]думал, что след на ограниченных операторах сепарабельного гильбертова пространства автоматически будет нормальным^{[требуется разъяснение ]} с точностью до тривиальных контрпримеров.^[6]:217 В течение 15 лет Диксмье с помощью предложения Нахмана Ароншайна и неравенств, доказанных Джозефом Хершем, разработал пример нетривиального, но ненормального^{[требуется разъяснение ]} след на слабые операторы класса трассировки,^[7]опровергая его более раннюю точку зрения. Особые следы, основанные на конструкции Диксмье, называются Следы Диксмье.

Самостоятельно и разными методами немецкий математик Альбрехт Питч (де) исследовал следы на идеалах операторов в банаховых пространствах.^[8]В 1987 году Найджел Калтон ответил на вопрос Питча, показав, что след оператора не является единственным следом на квазинормированных собственных субидеалах операторов класса следа в гильбертовом пространстве.^[9] Йожеф Варга самостоятельно изучил аналогичный вопрос.^[10]Чтобы решить вопрос о единственности следа на полном идеале операторов следового класса, Калтон разработал спектральное условие для коммутаторное подпространство операторов класса следа, следующих из результатов Гэри Вейсса.^[1] Следствием результатов Вейсса и спектрального условия Калтона было существование нетривиальных особых следов на операторах класса следов.^[2][6]:185

Также независимо и с другого направления Мариуш Водзицки исследовал некоммутативный вычет, след на классических псевдодифференциальных операторах на компактном многообразии, который обращается в нуль на псевдодифференциальных операторах класса следов порядка меньше отрицательного размерности многообразия.^[11]

Определение

След φ на двустороннем идеале J линейных ограниченных операторов B(ЧАС) на сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС- линейный функционал φ:J → ℂ такое, что φ (AB) = φ (BA) для всех операторов А из J и B из B(ЧАС). То есть след - это линейный функционал на J что исчезает на коммутаторное подпространство Com (J) из J.

След φ есть единственное число если φ(А) = 0 для каждого А из подидеала операторов конечного ранга F(ЧАС) в J.

Существование и характеристика

Особые следы характеризуются спектральным Калкин переписка между двусторонними идеалами ограниченных операторов в гильбертовом пространстве и перестановочно-инвариантными пространствами последовательностей. Используя спектральную характеристику коммутаторное подпространство благодаря Кену Дайкема, Тадеушу Фигелю, Гэри Вайсу и Мариушу Водзицки,^[12]каждому следу φ на двустороннем идеале J есть уникальный симметричный функционал ж на соответствующем пространстве последовательностей Калкина j такой, что

${ Displaystyle varphi (A) = { rm {f}} ( mu (A))}$

(1)

для каждого положительного оператора А принадлежащий J.^[6]Здесь μ: J₊ → j₊ это отображение положительного оператора на его сингулярные значения. Особый след φ соответствует симметричному функционалу ж на пространстве последовательности j что исчезает на c₀₀, последовательности с конечным числом ненулевых членов.

Характеристика параллельна построению обычного след оператора куда

${ displaystyle { rm {Tr}} (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} mu (n, A) = sum mu (A)}$

за А положительный оператор класса трассировки. Операторы класса трассировки и пространство последовательностей суммируемые последовательности находятся в переписке Калкина. (Сумма является симметричным функционалом на пространстве суммируемых последовательностей.)

Существование

Ненулевой след φ существует на двустороннем идеале J операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве, если его размерность коммутаторное подпространство не равно нулю. Существуют идеалы, допускающие бесконечно много линейно независимых ненулевых особых следов. Например, коммутаторное подпространство идеала слабые операторы класса трассировки содержит идеал операторов класса трассировки, и каждый положительный оператор в коммутаторном подпространстве слабого класса трассировки является классом трассировки.^[12]Следовательно, каждый след на идеале слабого класса следа является сингулярным, а размерность коммутаторного подпространства идеалов слабого класса следа бесконечна.^[6]:191 Не все особые следы на идеале класса слабых следов являются следами Диксмье.^[6]:316

Формулировка Лидского

След квадратной матрицы - это сумма ее собственных значений. Формула Лидского распространяет этот результат на функциональный анализ и утверждает, что трассировка оператора класса трассировки А дается суммой собственных значений,^[13]

${ displaystyle { rm {Tr}} (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} lambda (n, A) = sum ( lambda (A)).}$

Характеристика (1) следа φ от положительных операторов двумерного идеала J как симметричный функционал, применяемый к сингулярным значениям, может быть улучшен до утверждения, что след φ на любом операторе в J дается тем же симметричным функционалом, примененным к последовательности собственных значений при условии, что собственные значения всех операторов в J принадлежат пространству последовательностей Калкина j.^[14]В частности, если ограниченный оператор А принадлежит J всякий раз, когда есть ограниченный оператор B в J такой, что

${ Displaystyle prod _ {к = 0} ^ {n} mu (k, A) leq prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, B)}$

(2)

для каждого натурального числа п, то для каждого следа φ на J есть уникальный симметричный функционал ж на пространстве Калкин j с

${ Displaystyle varphi (A) = { rm {f}} ( lambda (A))}$

(3)

где λ (А) - последовательность собственных значений оператора А в J переставлен так, чтобы абсолютное значение собственных значений уменьшалось. Если А является квазинильпотентный тогда λ (А) - нулевая последовательность. Большинство двусторонних идеалов удовлетворяют свойству (2), включая все банаховы идеалы и квазибанаховы идеалы.

Уравнение (3) является точным утверждением, что особые следы измеряют асимптотическое спектральное поведение операторов.

Формулировка Фредгольма

След квадратной матрицы - это сумма ее диагональных элементов. В функциональном анализе соответствующая формула для операторов класса трассировки имеет вид

${ displaystyle { rm {Tr}} (A) = sum _ {n = 0} ^ { infty} langle Ae_ {n}, e_ {n} rangle = sum ( { langle Ae_ { n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

куда { е_п }_п=0^∞ произвольный ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства ЧАС. Особые следы не имеют эквивалентной формулировки для произвольных оснований. Только когда φ (А) = 0 будет оператором А обычно удовлетворяют

${ displaystyle varphi (A) = { rm {f}} ( { langle Ae_ {n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

для особого следа ф и произвольного ортонормированного базиса { е_п }_п=0^∞.^[6]:242

Диагональная формулировка часто используется вместо формулировки Лидского для расчета следа продуктов, поскольку собственные значения продуктов трудно определить. квантовая статистическая механика ожидание наблюдаемого S вычисляется относительно фиксированного оператора плотности энергии следового класса Т по формуле

${ displaystyle langle S rangle = { rm {Tr}} (ST) = sum _ {n = 0} ^ { infty} langle Se_ {n}, e_ {n} rangle lambda (n , T) = v_ {T} ( { langle Se_ {n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

куда v_Т принадлежит (л_∞)_* ≅ л₁. Ожидаемое значение рассчитывается из ожидаемых значений ⟨Se_п, е_п⟩ И вероятность ⟨п_п⟩ = Λ (п,Т) системы, находящейся в связанном квантовом состоянии е_п. Здесь п_п - оператор проектирования на одномерное подпространство, натянутое на энергию собственное состояние е_п. Собственные значения произведения λ (п,ST), не имеют эквивалентной интерпретации.

Есть результаты для единичных следов продуктов.^[15] Для продукта ST куда S ограничен и Т является самосопряженный и принадлежит к двустороннему идеалу J тогда

${ displaystyle varphi (ST) = { rm {f}} ( { langle Se_ {n}, e_ {n} rangle lambda (n, T) } _ {n = 0} ^ { infty}) = v _ { varphi, T} ( { langle Se_ {n}, e_ {n} rangle } _ {n = 0} ^ { infty})}$

для любого следа φ на J. Ортонормированный базис { е_п }_п=0^∞ должен быть заказан так, чтобы Te_п = μ (п,Т)е_п, п= 0,1,2 .... Когда φ особый и φ (Т) = 1, тогда v_φ,Т является линейным функционалом на л_∞ что расширяет предел на бесконечности на сходящихся последовательностях c. Ожидание ⟨S⟩ = Φ (ST) в этом случае обладает тем свойством, что ⟨п_п⟩ = 0 для каждого п, или что нет вероятности нахождения в связанном квантовом состоянии. Который

${ displaystyle langle S rangle = { text {`` предел в бесконечности ''}} langle Se_ {n}, e_ {n} rangle}$

привел к связи между единичными следами, принцип соответствия, и классические пределы ,.^{[6]:ch 12}

Использование в некоммутативной геометрии

Первое применение сингулярных следов было некоммутативный вычет, след на классических псевдодифференциальных операторах на компактном многообразии, который обращается в нуль на псевдодифференциальных операторах класса следов порядка меньше отрицательного размерности многообразия, ввел Мариуш Водзицкий и Виктор Гийемен независимо.^[11][16]Ален Конн охарактеризовал некоммутативный вычет внутри некоммутативная геометрия, Коннское обобщение дифференциальной геометрии с использованием следов Диксмье.^[3]

Математическое ожидание, включающее особую трассировку и плотность классов без следов, используется в некоммутативная геометрия,

${ displaystyle int S = { rm {Tr}} _ { omega} (S | D | ^ {- d}).}$

(4)

Здесь S - линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве L₂(Икс) квадратично интегрируемых функций на d-размерный закрытый коллектор Икс, Тр_ω - след Диксмье на идеале класса слабого следа, а плотность |D|^−d в слабом классе следов идеалом является d-я степень «линейного элемента» |D|⁻¹ куда D это Оператор типа Дирака подходящим образом нормированный так, чтобы Tr_ω(|D|^−d)=1.

Ожидание (4) является расширением интеграла Лебега на коммутативной алгебре существенно ограниченных функций, действующих умножением на L₂(Икс) в полной мере некоммутативный алгебра ограниченных операторов на L₂(Икс).^[15] То есть,

${ displaystyle int M_ {f} = int _ {X} f (x) , dx.}$

куда dx это объемная форма на Икс, ж - существенно ограниченная функция, а M_жограниченный оператор M_ж час(Икс) = (fh)(Икс) для любой интегрируемой с квадратом функции час в L₂(ИксОдновременно ожидание (4) является пределом на бесконечности квантовых ожиданий S → ⟨Se_п,е_п⟩, Определяемые собственными векторами Лапласиан на Икс. Точнее, для многих ограниченных операторов на L₂(Икс), включая все классические псевдодифференциальные операторы и операторы вида M_ж куда ж является существенно ограниченной функцией, последовательность ⟨Se_п, е_п⟩ Логарифмически сходится и^[6]:384

${ displaystyle int S = lim _ {n to infty} { frac { sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {1 + k}} langle Se_ {k }, e_ {k} rangle} { sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {1 + k}}}}}}$

Эти свойства связаны со спектром операторов типа Дирака, а не со следами Диксмье; они все еще сохраняются, если след Диксмье в (4) заменяется любой трассой на операторах слабого класса трассировки.^[15]

Примеры

Предполагать ЧАС - сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство.

Идеалы без следов

• Ограниченные операторы. Пол Халмос в 1954 г. показал, что любой ограниченный оператор в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве является суммой двух коммутаторов.^[17] То есть Com (B(ЧАС)) = B(ЧАС) и размерность коммутаторного подпространства B(ЧАС) равен нулю. Ограниченные линейные операторы не допускают везде определено следы. Квалификация актуальна; как алгебра фон Неймана B(ЧАС) допускает полуконечные (сильно-плотно определенные) следы.

Современное рассмотрение коммутаторного подпространства предполагает проверку его спектральная характеристика. Следующие идеалы не имеют следов со времен Чезаро означает положительных последовательностей из соответствующего пространства последовательностей Калкина принадлежат обратно в пространство последовательностей, указывая, что идеал и его коммутаторное подпространство равны.

• Компактные операторы. Коммутаторное подпространство Com (K(ЧАС)) = K(ЧАС) куда K(ЧАС) обозначает компактные линейные операторы. Идеал компактных операторов не оставляет следов.
• Schatten п-идеалы. Коммутаторное подпространство Com (L_п) = L_п, п > 1, где L_п обозначает Schatten п-идеальный,

${ displaystyle L_ {p} = {A in K (H): left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} mu (n, A) ^ {p} right) ^ { frac {1} {p}} < infty },}$

и μ (А) обозначает последовательность сингулярных значений компактного оператора А. Идеалы Шаттена для п > 1 не признаю следов.

• Лоренц п-идеалы или слабые-L_п идеалы. Коммутаторное подпространство Com (L_п,∞) = L_п,∞, п > 1, где

${ displaystyle L_ {p, infty} = {A in K (H): mu (n, A) = O (n ^ {- { frac {1} {p}}}) }}$

слабыйL_п идеальный. Слабые-L_п идеалы, п > 1, следов не допустить. Слабые-L_п идеалы равны идеалам Лоренца (см. ниже) с вогнутой функцией ψ (п)=п^1−1/п.

Идеалы со следами

• Операторы конечного ранга. Из спектрального условия проверяется, что ядро след оператора Tr и коммутаторное подпространство операторов конечного ранга равны, ker Tr = Com (F(ЧАС)). Отсюда следует, что коммутаторное подпространство Com (F(ЧАС)) имеет размерность 1 в F(ЧАС). С точностью до масштабирования Tr - уникальная трасса на F(ЧАС).
• Операторы класса трассировки. Операторы класса трассировки L₁ есть Com (L₁) строго содержится в ker Tr. Соразмерность коммутаторное подпространство поэтому больше единицы и оказывается бесконечным.^[18] В то время как Tr, с точностью до масштабирования, является уникальной непрерывной трассой на L₁ для нормы || A ||₁ = Tr (| A |), идеал операторов класса следов допускает бесконечно много линейно независимых и нетривиальных особых следов.

• Слабые операторы класса трассировки. Поскольку Com (L_1,∞)₊ = (L₁)₊ коразмерность коммутаторного подпространства слабойL₁ идеал бесконечен. Каждый след на операторах слабого класса следа обращается в нуль на операторах класса следа и, следовательно, является сингулярным. Операторы класса слабого следа образуют наименьший идеал, в котором каждый след на идеале должен быть сингулярным.^[18] Следы Диксмье обеспечивают явное построение трасс для операторов слабого класса трассировки.

${ displaystyle { rm {Tr}} _ { omega} (A) = omega left ( left {{ frac {1} { log (1 + n)}} sum _ {k = 0} ^ {n} lambda (k, A) right } _ {n = 0} ^ { infty} right), quad A in L_ {1, infty}.}$

Эта формула верна для каждого оператора слабого класса трассировки А и включает собственные значения, упорядоченные по убыванию абсолютной величины. Также ω может быть любым продолжением л_∞ обычного предела, он не обязательно должен быть инвариантным к растяжению, как в исходной формулировке Диксмье. Не все особые следы на идеале класса слабых следов являются следами Диксмье.^[6]:316

• k-тензорные идеалы слабого следа. Слабые-L_п идеалы, п > 1, не допускайте никаких следов, как объяснено выше. Они не подходят для разложения следов высших порядков на идеале класса слабых следов. L_1,∞. Для натурального числа k ≥ 1 идеалы

${ Displaystyle E _ { otimes k} = {A in K (H): mu (n, A) = O ( log ^ {k-1} (n) / n) }}$

сформировать соответствующую настройку. У них есть коммутаторные подпространства бесконечной ко-размерности, которые образуют такую ​​цепочку, что E_⊗k-1 ⊂ Com (E_⊗k) (с условием, что E₀ = L₁). Диксмье прослеживает E_⊗k иметь форму

${ displaystyle { rm {Tr}} _ { omega} ^ {k} (A) = omega left ( left {{ frac {1} { log ^ {k} (1 + n) }} sum _ {j = 0} ^ {n} lambda (j, A) right } _ {n = 0} ^ { infty} right), quad A in E _ { otimes k }.}$

• Ψ-идеалы Лоренца. Естественная ситуация для следов Диксмье находится на ψ-идеале Лоренца для вогнутой возрастающей функции ψ: [0, ∞) → [0, ∞),

${ Displaystyle L _ { psi} = {A in K (H): { frac {1} { psi (1 + n)}} sum _ {j = 0} ^ {n} mu ( n, A) < infty }.}$

Есть немного ω, которые распространяют обычный предел на л_∞ такой, что

${ displaystyle { rm {Tr}} _ { omega} ^ { psi} (A) = omega left ( left {{ frac {1} { psi (1 + n)}} sum _ {j = 0} ^ {n} lambda (j, A) right } _ {n = 0} ^ { infty} right), quad A in L _ { psi}}$

является сингулярным следом тогда и только тогда, когда^[6]:225

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac { psi (2n)} { psi (n)}} = 1.}$

Главный идеал, порожденный любым компактным оператором А с μ (А) = ψ 'называется малым идеалом внутри L_ψ. В k-тензорный идеал класса слабого следа - это малый идеал внутри идеала Лоренца с ψ = log^k.

• Полностью симметричные идеалы обобщить идеалы Лоренца. Следы Диксмье образуют все полностью симметричные следы на идеале Лоренца с точностью до масштабирования и образуют слабый * плотный подмножество полностью симметричных следов на общем полностью симметричном идеале. Известно, что полностью симметричные следы представляют собой строгое подмножество положительных следов на полностью симметричном идеале.^[6]:109 Следовательно, следы Диксмье не являются полным набором положительных следов на идеалах Лоренца.

Примечания

Рекомендации

• С. Лорд, Ф. А. Сукочев. Д. Занин (2012). Особые следы: теория и приложения. Берлин: Де Грюйтер. Дои:10.1515/9783110262551. ISBN  978-3-11-026255-1.

• Б. Саймон (2005). Отслеживайте идеалы и их приложения. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. ISBN  978-0-82-183581-4.

• А. Пич (1981). «Операторские идеалы со следом». Mathematische Nachrichten. 100: 61–91. Дои:10.1002 / мана.19811000105.

• А. Питч (1987). Собственные значения и s-числа. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-52-132532-5.

• С. Альбеверио; Д. Гвидо; А. Поносов; С. Скарлатти (1996). «Особые следы и компактные операторы» (PDF). Журнал функционального анализа. 137 (2): 281–302. Дои:10.1006 / jfan.1996.0047.

• М. Водзицки (2002). "Вестиджиа расследованда" (PDF). Московский математический журнал. 2 (4): 769–798. Дои:10.17323/1609-4514-2002-2-4-769-798.

• А. Конн (1994). Некоммутативная геометрия. Бостон, Массачусетс: Academic Press. ISBN  978-0-12-185860-5.

Смотрите также

• След Диксмье