Калкин переписка - Calkin correspondence

В математике Калкин переписка, названный в честь математика Джон Уильямс Калкин, является взаимно однозначным соответствием двусторонних идеалы ограниченного линейные операторы сепарабельной бесконечномерной Гильбертово пространство и пространства последовательностей Калкина (также называемые пространствами последовательностей, инвариантных к перестановке). Соответствие реализуется путем отображения оператора на его исключительное значение последовательность.

Это произошло из Джон фон Нейман изучение симметричных норм на матричные алгебры.^[1] Он предоставляет фундаментальную классификацию и инструмент для изучения двусторонних идеалов компактные операторы и их следы, сводя проблемы с пространствами операторов к (более разрешимым) проблемам с пространствами последовательностей.

Определения

А двусторонний идеал J линейных ограниченных операторов B(ЧАС) на сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС линейное подпространство такое, что AB и BA принадлежать J для всех операторов А из J и B из B(ЧАС).

А пространство последовательности j в л_∞ может быть встроен в B(ЧАС) с использованием произвольного ортонормированного базиса {е_п }_п=0^∞. Связать с последовательностью а из j ограниченный оператор

${ displaystyle { rm {diag}} (a) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} | e_ {n} rangle langle e_ {n} |,}$

куда обозначение бюстгальтера был использован для одномерных проекций на подпространства, натянутые на отдельные базисные векторы. Последовательность абсолютных значений записей а в порядке убывания называется убывающая перестановка иза. Убывающую перестановку можно обозначить μ (п,а), п = 0, 1, 2, ... Обратите внимание, что он идентичен сингулярные значения оператора diag (а). Другое обозначение убывающей перестановки:а*.

А Пространство последовательности Калкина (или инварианта перестановки) является линейным подпространством j ограниченных последовательностей л_∞ так что если а - ограниченная последовательность и μ (п,а) ≤ μ (п,б), п = 0, 1, 2, ..., для некоторых б в j, тогда а принадлежитj.

Переписка

Присоединяйтесь к двустороннему идеалу J пространство последовательности j данный

${ displaystyle j = {a in l _ { infty}: { rm {diag}} ( mu (a)) in J }.}$

Связать с пространством последовательности j двусторонний идеал J данный

${ Displaystyle J = {A in B (H): mu (A) in j }.}$

Здесь μ (А) и μ (а) являются сингулярные значения операторов А и диаг (а) соответственно. Теорема Калкина^[2] утверждает, что две карты противоположны друг другу. Мы получаем,

Калкин, переписка: Двусторонние идеалы ограниченные операторы на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве и пространства последовательностей Калкина находятся во взаимно однозначном соответствии.

Достаточно знать связь только между положительными операторами и положительными последовательностями, поэтому отображение μ: J₊ → j₊ от положительного оператора к его сингулярные значения реализует переписку Калкина.

Другой способ интерпретации соответствия Калкина, поскольку пространство последовательностей j эквивалентно как банахово пространство операторам в операторном идеале J диагонали относительно произвольного ортонормированного базиса, состоит в том, что двусторонние идеалы полностью определяются своими диагональными операторами.

Примеры

Предполагать ЧАС - сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство.

• Ограниченные операторы. Неправильный двусторонний идеал B(ЧАС) соответствует л_∞.
• Компактные операторы. Собственный и замкнутый по норме двусторонний идеал K(ЧАС) соответствует c₀, то пространство последовательностей, сходящихся к нулю.
• Операторы конечного ранга. Наименьший двусторонний идеал F(ЧАС) операторов конечного ранга соответствует c₀₀, пространство последовательностей с конечными ненулевыми членами.
• Schatten п-идеалы. Шаттен п-идеалы L_п, п ≥ 1, соответствуют л_п пробелы последовательности. В частности, операторы класса трассировки соответствуют л₁ а операторы Гильберта-Шмидта соответствуют л₂ .
• Слабый-L_п идеалы. Слабые-L_п идеалы L_п,∞, п ≥ 1, соответствуют слабый-л_п пробелы последовательности.
• Ψ-идеалы Лоренца. Ψ-идеалы Лоренца для возрастающей вогнутой функции ψ: [0, ∞) → [0, ∞) соответствуют Пространства последовательностей Лоренца.

Примечания

Рекомендации

• Б. Саймон (2005). Отслеживайте идеалы и их приложения. Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. ISBN  978-0-8218-3581-4.

• С. Лорд, Ф. А. Сукочев. Д. Занин (2012). Особые следы: теория и приложения. Берлин: Де Грюйтер. ISBN  978-3-11-026255-1.