Подпространство коммутатора - Commutator subspace

В математике коммутаторное подпространство двустороннего идеальный из ограниченные линейные операторы на отделяемом Гильбертово пространство линейное подпространство, натянутое на коммутаторы операторов в идеале с ограниченными операторами. Современная характеризация коммутаторного подпространства Калкин переписка и это предполагает инвариантность пространства последовательностей Калкина оператора, идеального для взятия Чезаро означает. Эта явная спектральная характеристика уменьшает проблемы и вопросы о коммутаторах и следы о двусторонних идеалах (более разрешимых) проблем и условиях на пространствах последовательностей.

История

Коммутаторы линейных операторов в гильбертовых пространствах приобрели известность в 1930-х годах, когда они были представлены в матричная механика, или Гейзенберг, формулировка квантовой механики. Однако до 1970-х годов коммутаторным подпространствам уделялось мало внимания. Американский математик Пол Халмос в 1954 г. показал, что любой ограниченный оператор в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве является суммой двух коммутаторов ограниченных операторов.^[1]В 1971 году Карл Пирси и Дэвид Топпинг вновь обратились к этой теме и изучили коммутаторные подпространства для Идеалы Шаттена.^[2] Еще студентом американский математик Гэри Вейсс начал исследовать спектральные условия для коммутаторов Операторы Гильберта – Шмидта.^[3]^[4]Британский математик Найджел Калтон, отмечая спектральное состояние Вейсса, охарактеризовал все коммутаторы классов следов.^[5]Результат Калтона лежит в основе современной характеризации коммутаторного подпространства. В 2004 году Кен Дайкема, Тадеуш Фигил, Гэри Вайс и Мариуш Водзицки опубликовали спектральную характеристику нормальных операторов в коммутаторном подпространстве для каждого двустороннего идеала компактных операторов.^[6]

Определение

Коммутаторное подпространство двустороннего идеала J линейных ограниченных операторов B(ЧАС) на сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС линейная оболочка операторов в J формы [А,B] = AB − BA для всех операторов А из J и B из B(ЧАС).

Коммутаторное подпространство J является линейным подпространством в J обозначается Com (J) или же [B(ЧАС),J].

Спектральная характеристика

В Калкин переписка заявляет, что компактный оператор А принадлежит к двустороннему идеалу J если и только если сингулярные значения μ (А) из А принадлежит пространству последовательностей Калкина j связано с J. Нормальные операторы принадлежащие коммутатору Com (J) можно охарактеризовать как А такое, что μ (А) принадлежит j и то Чезаро среднее последовательности μ (А) принадлежит j.^[6] Следующая теорема представляет собой небольшое распространение на разности нормальных операторов.^[7] (параметр B = 0 в нижеследующем дает утверждение предыдущего предложения).

Теорема. Предполагать А, Б компактные нормальные операторы, принадлежащие двустороннему идеалу J. потом А − B принадлежит коммутатору Com (J) если и только если

{ displaystyle left {{ frac {1} {1 + n}} sum _ {k = 0} ^ {n} left ( mu (k, A) - mu (k, B) вправо) вправо } _ {n = 0} ^ { infty} in j}

куда j пространство последовательностей Калкина, соответствующее J и μ (А), μ (B) - сингулярные значения А и B, соответственно.

При условии, что последовательности собственных значений всех операторов в J принадлежат пространству последовательностей Калкина j есть спектральная характеризация для произвольных (ненормальных) операторов. Это верно не для любого двустороннего идеала, но необходимые и достаточные условия известны. Найджел Калтон и американский математик Кен Дайкема впервые ввели условие для идеалов, порождаемых счетным числом.^[8]^[9]Узбекские и австралийские математики Федор Сукочев и Дмитрий Занин завершили характеристику собственных значений.^[10]

Теорема. Предполагать J - двусторонний идеал такой, что ограниченный оператор А принадлежит J всякий раз, когда есть ограниченный оператор B в J такой, что

{ Displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, A) leq prod _ {k = 0} ^ {n} mu (k, B), quad n = 0, 1,2, ldots.}

(1)

Если ограниченный оператор А и B принадлежать J тогда А − B принадлежит коммутатору Com (J) если и только если

{ displaystyle left {{ frac {1} {1 + n}} sum _ {k = 0} ^ {n} left ( lambda (k, A) - lambda (k, B) вправо) вправо } _ {n = 0} ^ { infty} in j}

куда j пространство последовательностей Калкина, соответствующее J и λ (А), λ (B) - последовательность собственных значений операторов А и Bсоответственно, переставлены так, что абсолютное значение собственных значений уменьшается.

Большинство двусторонних идеалов удовлетворяют условию теоремы, включая все банаховы идеалы и квазибанаховы идеалы.

Последствия характеристики

Каждый оператор в J является суммой коммутаторов тогда и только тогда, когда соответствующее пространство последовательностей Калкина j инвариантен относительно взятия Чезаро означает. В символах Com (J) = J эквивалентно C (j) = j, где C обозначает оператор Чезаро на последовательностях.
В любом двустороннем идеале разница между положительным оператором и его диагонализацией представляет собой сумму коммутаторов. То есть, А - diag (μ (А)) принадлежит Com (J) для каждого положительного оператора А в J где diag (μ (А)) - диагонализация А в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства ЧАС.
В любом двустороннем идеале, удовлетворяющем (1) разница между произвольным оператором и его диагонализацией представляет собой сумму коммутаторов. То есть, А - diag (λ (А)) принадлежит Com (J) для каждого оператора А в J где diag (λ (А)) - диагонализация А в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства ЧАС и λ (А) - последовательность собственных значений.
Каждый квазинильпотентный оператор в двустороннем идеале, удовлетворяющем (1) представляет собой сумму коммутаторов.

Приложение к следам

След φ на двустороннем идеале J из B(ЧАС) - линейный функционал φ:J → ℂ, равный нулю на Com (J). Из приведенных выше последствий следует

Двусторонний идеал J имеет ненулевой след тогда и только тогда, когда C (j) ≠ j.
φ (А) = φ∘diag (μ (А)) для каждого положительного оператора А в J где diag (μ (А)) - диагонализация А в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства ЧАС. То есть следы на J находятся в прямой переписке с симметричные функционалы на j.
В любом двустороннем идеале, удовлетворяющем (1), φ (А) = φ∘diag (λ (А)) для каждого оператора А в J где diag (λ (А)) - диагонализация А в произвольном ортонормированном базисе сепарабельного гильбертова пространства ЧАС и λ (А) - последовательность собственных значений.
В любом двустороннем идеале, удовлетворяющем (1), φ (Q) = 0 для каждого квазинильпотентный оператор Q из J и каждый след φ на J.

Примеры

Предполагать ЧАС является сепарабельным бесконечномерным гильбертовым пространством.

Компактные операторы. В компактные линейные операторы K(ЧАС) соответствуют пространству сходящихся к нулю последовательностей, c₀. Для сходящейся к нулю последовательности Чезаро означает сходятся к нулю. Следовательно, C (c₀) = c₀ и Com (K(ЧАС)) = K(ЧАС).
Операторы конечного ранга. В операторы конечного ранга F(ЧАС) соответствуют пространству последовательностей с конечными ненулевыми членами, c₀₀. Условие

{ displaystyle left {{ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} right } _ {n = 1} ^ { infty} in c_ {00}}

происходит тогда и только тогда, когда

{ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {N} = 0}

для последовательности (a₁, а₂, ..., а_N, 0, 0, ...) в c₀₀. Ядро след оператора Тр на F(ЧАС) и коммутаторное подпространство операторов конечного ранга равны, ker Tr = Com (F(ЧАС)) ⊊ F(ЧАС).

Операторы класса трассировки. В операторы класса трассировки L₁ соответствуют суммируемые последовательности. Условие

{ displaystyle left {{ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} right } _ {n = 1} ^ { infty} in ell _ {1}}

сильнее, чем условие₁ + а₂ ... = 0. Примером может служить последовательность с

{ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {n log ^ {2} (n)}}, quad n geq 2.}

и

{ displaystyle a_ {1} = - sum _ {n = 2} ^ { infty} a_ {n}.}

который имеет нулевую сумму, но не имеет суммируемой последовательности средних Чезаро. Следовательно, Com (L₁) ⊊ ker Tr ⊊ L₁.

Слабые операторы класса трассировки. В операторы слабых классов трассировки L_1,∞ соответствуют слабый-л₁ пространство последовательности. Из условия

{ displaystyle left {{ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} right } _ {n = 1} ^ { infty} in ell _ {1, infty}}

или эквивалентно

{ displaystyle left {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n} right } _ {n = 1} ^ { infty} = O (1)}

сразу же Com (L_1,∞)₊ = (L₁)₊. Коммутаторное подпространство операторов слабого класса трассировки содержит операторы класса трассировки. В гармоническая последовательность 1,1 / 2,1 / 3, ..., 1 / n, ... принадлежит л_1,∞ и он имеет расходящийся ряд, и поэтому средние Чезаро гармонической последовательности не принадлежат л_1,∞.В итоге, L₁ ⊊ Com (L_1,∞) ⊊ L_1,∞.

Примечания

^ П. Халмос (1954). «Коммутаторы операторов. II». Амер. J. Math. 76 (1): 191–198. Дои:10.2307/2372409. JSTOR 2372409.
^ К. Пирси; Д. Топпинг (1971). «О коммутаторах в идеалах компактных операторов». Michigan Math. J. 18 (3): 247–252. Дои:10,1307 / ммдж / 1029000686.
^ Г. Вайс (1980). "Коммутаторы операторов Гильберта – Шмидта, II". Интегральные уравнения и теория операторов. 3 (4): 574–600. Дои:10.1007 / BF01702316.
^ Г. Вайс (1986). "Коммутаторы операторов Гильберта – Шмидта, I". Интегральные уравнения и теория операторов. 9 (6): 877–892. Дои:10.1007 / bf01202521.
^ Н. Дж. Калтон (1989). «Операторы и коммутаторы следового класса» (PDF). Журнал функционального анализа. 86: 41–74. Дои:10.1016/0022-1236(89)90064-5. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-08-10. Получено 2013-07-31.
^ ^а ^б К. Дикема; Т. Фигиель; Г. Вайс; М. Водзицки (2004). «Коммутаторная структура операторных идеалов» (PDF). Adv. Математика. 185: 1–79. Дои:10.1016 / с0001-8708 (03) 00141-5.
^ Н. Дж. Калтон; С. Лорд; Д. Потапов; Ф. Сукочев (2013). «Следы компактных операторов и некоммутативный вычет» (PDF). Adv. Математика. 235: 1–55. arXiv:1210.3423. Дои:10.1016 / j.aim.2012.11.007. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-05-12. Получено 2013-08-04.
^ Н. Дж. Калтон (1998). «Спектральная характеристика сумм коммутаторов, I». J. Reine Angew. Математика. 1998 (504): 115–125. Дои:10.1515 / crll.1998.102.
^ К. Дикема; Н. Дж. Калтон (1998). «Спектральная характеризация сумм коммутаторов, II». J. Reine Angew. Математика. 504: 127–137.
^ ^{[нужна цитата ]}