Компактный оператор в гильбертовом пространстве - Википедия - Compact operator on Hilbert space

Эта статья может потребоваться переписан соответствовать требованиям Википедии стандарты качества, поскольку он написан как учебник математики, а не как статья в энциклопедии. Ты можешь помочь. В страница обсуждения может содержать предложения. (Сентябрь 2017 г.)

В функциональный анализ, концепция компактный оператор на Гильбертово пространство является расширением понятия матрицы, действующей в конечномерном векторном пространстве; в гильбертовом пространстве компактные операторы - это в точности замыкание операторы конечного ранга (представимых конечномерными матрицами) в топология вызванный норма оператора. Таким образом, результаты теории матриц иногда можно распространить на компактные операторы, используя аналогичные аргументы. Напротив, изучение общих операторов в бесконечномерных пространствах часто требует совершенно иного подхода.

Например, спектральная теория компактных операторов на Банаховы пространства принимает форму, очень похожую на Иорданская каноническая форма матриц. В контексте гильбертовых пространств квадратная матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальный. Соответствующий результат верен для нормальных компактных операторов в гильбертовых пространствах. В более общем смысле от предположения о компактности можно отказаться. Но, как указано выше, методы, используемые для доказательства, например, то спектральная теорема разные, включая операторно-оценочные меры на спектр.

Некоторые результаты для компактных операторов в гильбертовом пространстве будут обсуждаться, начиная с общих свойств до рассмотрения подклассов компактных операторов.

Определение

Позволять ${ displaystyle H}$ - гильбертово пространство и ${ Displaystyle L (H)}$ быть набором ограниченные операторы на ${ displaystyle H}$. Тогда оператор ${ Displaystyle T in L (H)}$ считается компактный оператор если образ каждого ограниченного множества при ${ displaystyle T}$ является относительно компактный.

Некоторые общие свойства

В этом разделе мы перечислим некоторые общие свойства компактных операторов.

Если Икс и Y являются гильбертовыми пространствами (на самом деле Икс Банах и Y Нормед будет достаточно), тогда Т : Икс → Y компактен тогда и только тогда, когда он непрерывен, если рассматривать его как карту из Икс с слабая топология к Y (с топологией нормы). (Видеть (Чжу 2007, Теорема 1.14, стр.11), и отметим в этой ссылке, что равномерная ограниченность будет применяться в ситуации, когда F ⊆ Икс удовлетворяет (∀φ ∈ Hom (Икс, K)) Как дела{Икс**(φ) = φ (Икс) : Икс} <∞, где K - основное поле. Принцип равномерной ограниченности применим, поскольку Hom (Икс, K) с топологией нормы будет банаховым пространством, а отображения Икс** : Hom (Икс,K) → K являются непрерывными гомоморфизмами относительно этой топологии.)

Семейство компактных операторов является замкнутым по норме двусторонним * -идеальным в L(ЧАС). Следовательно, компактный оператор Т не может иметь ограниченного обратного, если ЧАС бесконечномерно. Если ST = TS = я, то единичный оператор был бы компактным; противоречие.

Если последовательности ограниченных операторов B_п → B, C_п → C в сильная операторная топология и Т компактно, то ${ displaystyle B_ {n} TC_ {n} ^ {*}}$ сходится к ${ displaystyle BTC ^ {*}}$ в норме.^[1] Например, рассмотрим гильбертово пространство ${ Displaystyle л ^ {2} ( mathbf {N}),}$ со стандартной основой {е_п}. Позволять п_м - ортогональная проекция на линейную оболочку {е₁ ... е_м}. Последовательность {п_м} сходится к оператору идентичности я сильно, но не равномерно. Определять Т к ${ displaystyle Te_ {n} = { tfrac {1} {n ^ {2}}} e_ {n}.}$ Т компактен и, как утверждалось выше, п_мТ → ЭТО = Т в единой операторной топологии: для всех Икс,

${ Displaystyle left | P_ {m} Tx-Tx right | leq left ({ frac {1} {m + 1}} right) ^ {2} | x |.}$

Обратите внимание на каждую п_м - оператор конечного ранга. Аналогичные рассуждения показывают, что если Т компактно, то Т - равномерный предел некоторой последовательности операторов конечного ранга.

В силу замкнутости по норме идеала компактных операторов верно и обратное.

Фактор-С * -алгебра L(ЧАС) по модулю компактных операторов называется Калкина алгебра, в котором можно рассматривать свойства оператора с точностью до компактного возмущения.

Компактный самосопряженный оператор

Ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве ЧАС как говорят самосопряженный если Т = Т *, или эквивалентно,

${ displaystyle langle Tx, y rangle = langle x, Ty rangle, quad x, y in H.}$

Отсюда следует, что <Tx, Икс> реально для каждого Икс ∈ ЧАС, таким образом, собственные значения Т, когда они существуют, реальны. Когда замкнутое линейное подпространство L из ЧАС инвариантен относительно Т, то ограничение Т к L является самосопряженным оператором на L, и, кроме того, ортогональное дополнение L^⊥ из L также инвариантен относительно Т. Например, пространство ЧАС можно разложить на ортогональные прямая сумма из двух Т–Инвариантные замкнутые линейные подпространства: ядро из Т, а ортогональное дополнение (кер Т)^⊥ ядра (что равно закрытию диапазона Т, для любого ограниченного самосопряженного оператора). Эти основные факты играют важную роль в доказательстве следующей спектральной теоремы.

Результат классификации для эрмитова п × п матрицы - это спектральная теорема: Если M = М *, тогда M унитарно диагонализуема, и диагонализация M есть реальные записи. Позволять Т - компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ЧАС. Докажем то же утверждение для Т: Оператор Т можно диагонализовать ортонормированным набором собственных векторов, каждый из которых соответствует действительному собственному значению.

Спектральная теорема

Теорема Для каждого компактного самосопряженного оператора Т на действительном или комплексном гильбертовом пространстве ЧАС, существует ортонормированный базис из ЧАС состоящий из собственных векторов Т. Более конкретно, ортогональное дополнение ядра Т допускает либо конечный ортонормированный базис собственных векторов Т, или счетно бесконечный ортонормированный базис {е_п} собственных векторов Т, с соответствующими собственными значениями {λ_п} ⊂ р, так что λ_п → 0.

Другими словами, компактный самосопряженный оператор можно унитарно диагонализовать. Это спектральная теорема.

Когда ЧАС является отделяемый, можно смешать основу {е_п} с счетный ортонормированный базис для ядра Т, и получим ортонормированный базис {ж_п} за ЧАС, состоящий из собственных векторов Т с действительными собственными значениями {μ_п} такой, что μ_п → 0.

Следствие Для каждого компактного самосопряженного оператора Т на вещественном или комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве ЧАСсуществует счетно бесконечный ортонормированный базис {ж_п} из ЧАС состоящий из собственных векторов Т, с соответствующими собственными значениями {μ_п} ⊂ р, так что μ_п → 0.

Идея

Обсудим сначала конечномерное доказательство. Доказательство спектральной теоремы для эрмитова п × п матрица Т зависит от демонстрации существования одного собственного вектора Икс. Как только это будет сделано, эрмитичность подразумевает, что как линейная оболочка, так и ортогональное дополнение к Икс (размерности п-1) являются инвариантными подпространствами Т. Тогда желаемый результат получается индукцией по ${ Displaystyle Т_ {х ^ { перп}}}$.

Существование собственного вектора можно показать (как минимум) двумя альтернативными способами:

1. Можно рассуждать алгебраически: характеристический многочлен Т имеет сложный корень, поэтому Т имеет собственное значение с соответствующим собственным вектором.
2. Собственные значения можно охарактеризовать вариационно: наибольшее собственное значение - это максимум на замкнутом блоке. сфера функции ж: р^2п → р определяется ж(Икс) = x * Tx = <Tx, Икс>.

Примечание. В конечномерном случае часть первого подхода работает в гораздо большей степени; любая квадратная матрица, не обязательно эрмитова, имеет собственный вектор. Это просто неверно для общих операторов в гильбертовых пространствах. В бесконечных измерениях также непросто обобщить концепцию характеристического полинома.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного случая может быть получена аналогично: собственный вектор находят, расширяя второй конечномерный аргумент выше, а затем применяют индукцию. Сначала мы набросаем аргументы в пользу матриц.

Поскольку замкнутая единичная сфера S в р^2п компактный, и ж непрерывно, ж(S) компактна на прямой, поэтому ж достигает максимума на S, на некотором единичном векторе у. К Множитель Лагранжа теорема у удовлетворяет

${ displaystyle nabla f = nabla y ^ {*} Ty = lambda cdot nabla y ^ {*} y}$

для некоторого λ. По отшельничеству, Ty = λу.

В качестве альтернативы пусть z ∈ C^п быть любым вектором. Обратите внимание, что если единичный вектор у максимизирует <Tx, Икс> на единичной сфере (или на единичном шаре) он также максимизирует Фактор Рэлея:

${ displaystyle g (x) = { frac { langle Tx, x rangle} { | x | ^ {2}}}, qquad 0 neq x in mathbf {C} ^ {n} .}$

Рассмотрим функцию:

${ displaystyle { begin {cases} h: mathbf {R} to mathbf {R} h (t) = g (y + tz) end {cases}}}$

По расчетам, час′(0) = 0, т.е.,

${ Displaystyle { begin {align} h '(0) & = lim _ {t to 0} { frac {h (t) -h (0)} {t-0}} & = lim _ {t to 0} { frac {g (y + tz) -g (y)} {t}} & = lim _ {t to 0} { frac {1} {t} } left ({ frac { langle T (y + tz), y + tz rangle} { | y + tz | ^ {2}}} - { frac { langle Ty, y rangle} { | y | ^ {2}}} right) & = lim _ {t to 0} { frac {1} {t}} left ({ frac { langle T (y + tz), y + tz rangle - langle Ty, y rangle} { | y | ^ {2}}} right) & = { frac {1} { | y | ^ {2}}} lim _ {t to 0} { frac { langle T (y + tz), y + tz rangle - langle Ty, y rangle} {t}} & = { frac {1} { | y | ^ {2}}} left ({ frac {d} {dt}} { frac { langle T (y + tz), y + tz rangle} { langle y + tz, y + tz rangle}} right) (0) & = 0. end {align}}}$

Определять:

${ displaystyle m = { frac { langle Ty, y rangle} { langle y, y rangle}}}$

После некоторой алгебры вышеприведенное выражение становится (Re обозначает действительную часть комплексного числа)

${ displaystyle mathrm {Re} ( langle Ty-my, z rangle) = 0.}$

Но z произвольно, поэтому Ty − мой = 0. Это суть доказательства спектральной теоремы в матричном случае.

Примечание что в то время как множители Лагранжа обобщаются на бесконечномерный случай, компактность единичной сферы теряется. Отсюда предположение, что оператор Т быть компактным полезно.

Подробности

Требовать Если Т - компактный самосопряженный оператор в ненулевом гильбертовом пространстве ЧАС и

${ Displaystyle м (T): = sup { bigl {} | langle Tx, x rangle |: x in H, , | x | leq 1 { bigr }},}$

тогда м(Т) или -м(Т) является собственным значением Т.

Если м(Т) = 0, тогда Т = 0 по поляризационная идентичность, и этот случай ясен. Рассмотрим функцию

${ displaystyle { begin {cases} f: H to mathbf {R} f (x) = langle Tx, x rangle end {cases}}}$

Замена Т автор -Т при необходимости можно предположить, что супремум ж на замкнутом единичном шаре B ⊂ ЧАС равно м(Т) > 0. Если ж достигает максимума м(Т) на B на некотором единичном векторе у, то по тому же аргументу, что и для матриц, у является собственным вектором Т, с соответствующим собственным значением λ = <λy, у> = <Ty, у> = ж(у) = м(Т).

Посредством Теорема Банаха – Алаоглу и рефлексивность ЧАС, замкнутый шар B слабо компактный. Также компактность Т означает (см. выше), что Т : Икс со слабой топологией → Икс с топологией нормы непрерывна. Эти два факта подразумевают, что ж продолжается на B со слабой топологией, и ж достигает максимума м на B некоторые у ∈ B. По максимальности ${ Displaystyle | у | = 1,}$ что, в свою очередь, означает, что у также максимизирует фактор Рэлея грамм(Икс) (см. выше). Это показывает, что у является собственным вектором Т, и заканчивает доказательство утверждения.

Примечание. Компактность Т это важно. В целом, ж не обязательно быть непрерывным для слабой топологии на единичном шаре B. Например, пусть Т - тождественный оператор, некомпактный при ЧАС бесконечномерно. Возьмем любую ортонормированную последовательность {у_п}. потом у_п сходится к 0 слабо, но lim ж(у_п) = 1 ≠ 0 = ж(0).

Позволять Т компактный оператор в гильбертовом пространстве ЧАС. Конечная (возможно, пустая) или счетно бесконечная ортонормированная последовательность {е_п} собственных векторов Т, с соответствующими ненулевыми собственными значениями, строится по индукции следующим образом. Позволять ЧАС₀ = ЧАС и Т₀ = Т. Если м(Т₀) = 0, то Т = 0 и построение останавливается, не создавая собственного вектора е_п. Предположим, что ортонормированные собственные векторы е₀, ..., е_{п − 1} из Т были найдены. потом E_п: = промежуток (е₀, ..., е_{п − 1}) инвариантен относительно Т, а в силу самосопряженности ортогональное дополнение ЧАС_п из E_п инвариантное подпространство Т. Позволять Т_п обозначают ограничение Т к ЧАС_п. Если м(Т_п) = 0, то Т_п = 0, и построение прекращается. В противном случае требовать применительно к Т_п, существует норма один собственный вектор е_п из Т в ЧАС_п, с соответствующим ненулевым собственным значением λ_п = ± м(Т_п).

Позволять F = (span {е_п})^⊥, куда {е_п} - конечная или бесконечная последовательность, построенная индуктивным процессом; по самосопряженности, F инвариантен относительно Т. Позволять S обозначают ограничение Т к F. Если процесс был остановлен после конечного числа шагов, с последним вектором е_м−1, тогда F= ЧАС_м и S = Т_м = 0 по построению. В бесконечном случае компактность Т и слабая сходимость е_п к 0 означает, что Te_п = λ_пе_п → 0, следовательно λ_п → 0. С F содержится в ЧАС_п для каждого п, следует, что м(S) ≤ м({Т_п}) = |λ_п| для каждого п, следовательно м(S) = 0. Отсюда снова следует, что S = 0.

Дело в том, что S = 0 означает, что F содержится в ядре Т. Наоборот, если Икс ∈ ker (Т), то по самосопряженности Икс ортогонален каждому собственному вектору {е_п} с ненулевым собственным значением. Следует, что F = ker (Т), и что {е_п} является ортонормированным базисом для ортогонального дополнения ядра Т. Можно завершить диагонализацию Т выбрав ортонормированный базис ядра. Это доказывает спектральную теорему.

Более короткое, но более абстрактное доказательство выглядит следующим образом: Лемма Цорна, Выбрать U быть максимальным подмножеством ЧАС со следующими тремя свойствами: все элементы U являются собственными векторами Т, у них есть норма один, и любые два различных элемента U ортогональны. Позволять F - ортогональное дополнение линейной оболочки U. Если F ≠ {0}, это нетривиальное инвариантное подпространство Т, и по первоначальному утверждению должен существовать норма один собственный вектор у из Т в F. Но потом U ∪ {у} противоречит максимальности U. Следует, что F = {0}, следовательно, span (U) плотно в ЧАС. Это показывает, что U является ортонормированным базисом ЧАС состоящий из собственных векторов Т.

Функциональное исчисление

Если Т компактна в бесконечномерном гильбертовом пространстве ЧАС, тогда Т не обратима, поэтому σ (Т) спектр Т, всегда содержит 0. Спектральная теорема показывает, что σ (Т) состоит из собственных значений {λ_п} из Т, и 0 (если 0 еще не является собственным значением). Множество σ (Т) - компактное подмножество комплексных чисел, а собственные значения плотны в σ (Т).

Любую спектральную теорему можно переформулировать в терминах функциональное исчисление. В данном контексте мы имеем:

Теорема. Позволять C(σ (Т)) обозначим C * -алгебра непрерывных функций на σ (Т). Существует единственный изометрический гомоморфизм Φ: C(σ (Т)) → L(ЧАС) такое, что Φ (1) = я и если ж функция идентичности ж(λ) = λ, то Φ (ж) = Т. Более того, σ (ж(Т)) = ж(σ (Т)).

Отображение функционального исчисления Φ определяется естественным образом: пусть {е_п} - ортонормированный базис собственных векторов для ЧАС, с соответствующими собственными значениями {λ_п}; за ж ∈ C(σ (Т)), оператор Φ (ж), диагональная относительно ортонормированного базиса {е_п}, определяется установкой

${ Displaystyle Phi (е) (е_ {п}) = е ( лямбда _ {п}) е_ {п}}$

для каждого п. Поскольку Φ (ж) диагонально относительно ортонормированного базиса, его норма равна супремуму модуля диагональных коэффициентов,

${ Displaystyle | Phi (f) | = sup _ { lambda _ {n} in sigma (T)} | f ( lambda _ {n}) | = | f | _ { C ( sigma (T))}.}$

Остальные свойства Φ легко проверить. Наоборот, любой гомоморфизм Ψ, удовлетворяющий требованиям теоремы, должен совпадать с Φ, когда ж является многочленом. Посредством Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, полиномиальные функции плотны в C(σ (Т)), откуда следует Ψ = Φ. Это показывает, что Φ единственно.

Более общий непрерывное функциональное исчисление можно определить для любого самосопряженного (или даже нормального в комплексном случае) ограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Компактный случай, описанный здесь, является особенно простым примером этого функционального исчисления.

Одновременная диагонализация

Рассмотрим гильбертово пространство ЧАС (например, конечномерное C^п) и коммутирующее множество ${ displaystyle { mathcal {F}} substeq operatorname {Hom} (H, H)}$ самосопряженных операторов. Затем при подходящих условиях можно одновременно (унитарно) диагонализовать. А именно., существует ортонормированный базис Q состоящий из общих собственных векторов операторов - т.е.

${ displaystyle ( forall {q in Q, T in { mathcal {F}}}) ( exists { sigma in mathbf {C}}) (T- sigma) q = 0}$

Лемма. Предположим, что все операторы в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ компактны. Тогда каждый замкнутый ненулевой ${ displaystyle { mathcal {F}}}$-инвариантное подпространство S ⊆ ЧАС имеет общий собственный вектор для ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Доказательство. Случай I: у всех операторов есть ровно одно собственное значение. Тогда возьмите любой ${ displaystyle s in S}$ единицы длины. Это общий собственный вектор.

Случай II: есть какой-то оператор ${ displaystyle T in { mathcal {F}}}$ минимум с двумя собственными значениями и пусть ${ displaystyle 0 neq alpha in sigma (T upharpoonright S)}$. С Т компактно и α не равно нулю, имеем ${ Displaystyle S ': = ker (T upharpoonright S- alpha)}$ является конечномерным (а потому замкнутым) ненулевым ${ displaystyle { mathcal {F}}}$-инвариантное подпространство (поскольку все операторы коммутируют с Т, у нас есть для ${ displaystyle T ' in { mathcal {F}}}$ и ${ Displaystyle х в ker (T upharpoonright S- alpha)}$, который ${ Displaystyle (T- альфа) (T'x) = (T '(T ~ x) - alpha T'x) = 0}$). В частности, у нас определенно есть ${ displaystyle dim S '< dim S.}$ Таким образом, мы могли бы в принципе рассуждать индукцией по размерности, получая, что ${ Displaystyle S ' substeq S}$ имеет общий собственный вектор для ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Теорема 1. Если все операторы в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ компактны, то операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.

Доказательство. Следующий набор

${ displaystyle mathbf {P} = {A substeq H: A { text {- ортонормированный набор общих собственных векторов для}} { mathcal {F}} },}$

частично упорядочивается включением. Это явно имеет свойство Zorn. Так что принимая Q максимальный член, если Q является базисом всего гильбертова пространства ЧАС, мы сделали. Если бы это было не так, то позволяя ${ Displaystyle S = langle Q rangle ^ { bot}}$, легко увидеть, что это будет ${ displaystyle { mathcal {F}}}$-инвариантное нетривиальное замкнутое подпространство; и, таким образом, по лемме выше, в нем будет лежать общий собственный вектор для операторов (обязательно ортогональный к Q). Но тогда было бы правильное расширение Q в п; противоречие с его максимальностью.

Теорема 2. Если существует инъективный компактный оператор в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$; тогда операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.

Доказательство. Исправить ${ displaystyle T_ {0} in { mathcal {F}}}$ компактный инъекционный. Тогда согласно спектральной теории компактных симметрических операторов в гильбертовых пространствах:

${ displaystyle H = { overline { bigoplus _ { lambda in sigma (T_ {0})} ker (T_ {0} - sigma)}},}$

куда ${ displaystyle sigma (T_ {0})}$ - дискретное счетное подмножество положительных действительных чисел, а все собственные подпространства конечномерны. С ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ коммутирующее множество, у нас все собственные подпространства инвариантны. Поскольку все операторы, ограниченные собственными подпространствами (которые конечномерны), автоматически все компактны, мы можем применить теорему 1 к каждому из них и найти ортонормированные базисы Q_σ для ${ displaystyle ker (T_ {0} - sigma)}$. С Т₀ симметрично, имеем

${ Displaystyle Q: = bigcup _ { sigma in sigma (T_ {0})} Q _ { sigma}}$

является (счетным) ортонормированным множеством. Кроме того, согласно впервые сформулированному разложению, это основа для ЧАС.

Теорема 3. Если ЧАС конечномерное гильбертово пространство, и ${ displaystyle { mathcal {F}} substeq operatorname {Hom} (H, H)}$ коммутативный набор операторов, каждый из которых диагонализуем; тогда операторы можно одновременно диагонализовать.

Доказательство. Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Тогда любая основа для ЧАС Сделаю.

Случай II: Исправить ${ displaystyle T_ {0} in { mathcal {F}}}$ оператор, имеющий не менее двух собственных значений, и пусть ${ displaystyle P in operatorname {Hom} (H, H) ^ { times}}$ так что ${ displaystyle P ^ {- 1} T_ {0} P}$ является симметричным оператором. Пусть теперь α - собственное значение оператора ${ displaystyle P ^ {- 1} T_ {0} P}$. Тогда легко увидеть, что оба:

${ displaystyle ker left (P ^ {- 1} ~ T_ {0} (P- alpha) right), quad ker left (P ^ {- 1} ~ T_ {0} (P- alpha) right) ^ { bot}}$

нетривиальны ${ Displaystyle P ^ {- 1} { mathcal {F}} P}$-инвариантные подпространства. Индукцией по размерности получаем, что существуют линейно независимые базисы Q₁, Q₂ для подпространств, которые демонстрируют, что операторы в ${ Displaystyle P ^ {- 1} { mathcal {F}} P}$ могут быть одновременно диагонализуемы на подпространствах. Ясно тогда ${ Displaystyle P (Q_ {1} чашка Q_ {2})}$ демонстрирует, что операторы в ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ можно одновременно диагонализовать.

Обратите внимание, что в этом доказательстве нам вообще не пришлось напрямую использовать механизм матриц. Есть и другие версии.

Мы можем усилить сказанное выше для случая, когда все операторы просто коммутируют со своим сопряженным; в этом случае мы убираем термин «ортогональный» из диагонализации. Есть более слабые результаты для операторов, возникающих из представлений Вейля – Петера. Позволять грамм фиксированная локально компактная хаусдорфова группа и ${ Displaystyle H = L ^ {2} (G)}$ (пространство измеримых функций, суммируемых с квадратом относительно единственной масштабной меры Хаара на грамм). Рассмотрим непрерывное переключение:

${ displaystyle { begin {cases} G times H to H (gf) (x) = f (g ^ {- 1} x) end {cases}}}$

Тогда если грамм были компактными, то существует единственное разложение ЧАС в счетную прямую сумму конечномерных неприводимых инвариантных подпространств (по сути, это диагонализация семейства операторов ${ Displaystyle G substeq U (H)}$). Если грамм не были компактными, но были абелевыми, то диагонализация не достигается, но мы получаем уникальную непрерывный разложение ЧАС в одномерные инвариантные подпространства.

Компактный нормальный оператор

Семейство эрмитовых матриц - это собственное подмножество матриц, которые унитарно диагонализируемы. Матрица M унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна, т. е. М * М = ММ *. Аналогичные утверждения верны для компактных нормальных операторов.

Позволять Т быть компактным и Т * Т = TT *. Применить Декартово разложение к Т: определять

${ displaystyle R = { frac {T + T ^ {*}} {2}}, quad J = { frac {T-T ^ {*}} {2i}}.}$

Самосопряженные компактные операторы р и J называются действительной и мнимой частями Т соответственно. Т компактно означает Т *, как следствие р и J, компактны. Кроме того, нормальность Т подразумевает р и J ездить. Следовательно, они могут быть одновременно диагонализованы, из чего следует утверждение.

А гипонормальный компактный оператор (в частности, субнормальный оператор ) это нормально.

Унитарный оператор

Спектр унитарный оператор U лежит на единичной окружности комплексной плоскости; это может быть весь единичный круг. Однако если U тождество плюс компактное возмущение, U имеет только счетный спектр, содержащий 1 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 1 на единичной окружности. Точнее предположим U = я + C куда C компактный. Уравнения UU * = U * U = я и C = U − я покажи это C это нормально. Спектр C содержит 0 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 0. Поскольку U = я + C, спектр U получается сдвигом спектра C Автор: 1.

Примеры

• Позволять ЧАС = L²([0, 1]). Оператор умножения M определяется

${ displaystyle (Mf) (x) = xf (x), quad f in H, , , x in [0,1]}$

- ограниченный самосопряженный оператор на ЧАС который не имеет собственного вектора и, следовательно, по спектральной теореме не может быть компактным.

• Позволять K(Икс, у) квадратично интегрируемо на [0, 1]² и определить Т_K на ЧАС к

${ Displaystyle (T_ {K} f) (x) = int _ {0} ^ {1} K (x, y) f (y) , mathrm {d} y.}$

потом Т_K компактна на ЧАС; это Оператор Гильберта – Шмидта.

• Предположим, что ядро K(Икс, у) удовлетворяет условию эрмитовости

${ Displaystyle К (y, x) = { overline {K (x, y)}}, quad x, y in [0,1].}$

потом Т_K компактна и самосопряжена на ЧАС; если {φ_п} - ортонормированный базис собственных векторов с собственными значениями {λ_п}, можно доказать, что

${ displaystyle sum lambda _ {n} ^ {2} < infty, K (x, y) sim sum lambda _ {n} varphi _ {n} (x) { overline { varphi _ {n} (y)}},}$

где под суммой ряда функций понимается L² сходимость меры Лебега на [0, 1]². Теорема Мерсера дает условия, при которых ряд сходится к K(Икс, у) поточечно и равномерно на [0, 1]².

Смотрите также

• Калкина алгебра
• Компактный оператор
• Разложение спектра (функциональный анализ). Если снять предположение о компактности, операторы, вообще говоря, не обязательно должны иметь счетный спектр.
• Сингулярное разложение # Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах. Понятие сингулярных значений можно распространить с матриц на компактные операторы.

Рекомендации

• Дж. Бланк, П. Экснер и М. Гавличек, Операторы гильбертова пространства в квантовой физике, Американский институт физики, 1994.
• М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики I: Функциональный анализ, Academic Press, 1972.
• Чжу, Кехе (2007), Теория операторов в функциональных пространствах, Математические обзоры и монографии, Вып. 138, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3965-2