Ноль в степени нуля - Zero to the power of zero

Ноль в степени нуля, обозначаемый 00, это математическое выражение без согласования ценить. Наиболее распространенные возможности: 1 или оставив выражение неопределенным, с существующими обоснованиями для каждого, в зависимости от контекста. алгебра и комбинаторика, общепринятым значением является00 = 1, тогда как в математический анализ, выражение иногда остается неопределенным. Языки компьютерного программирования и программное обеспечение также имеют разные способы обработки этого выражения.

Дискретные показатели

Существует множество широко используемых формул, содержащих термины, включающие натуральное число экспоненты, требующие 00 быть оцененным 1. Например, относительно б0 как пустой продукт присваивает ему значение 1, даже когда б = 0. В качестве альтернативы комбинаторная интерпретация из б0 это количество пустые кортежи элементов из набора с б элементы; есть ровно один пустой кортеж, даже если б = 0. Эквивалентно теоретико-множественная интерпретация из 00 - количество функций от пустого набора до пустого набора; есть ровно одна такая функция, пустая функция.[1]

Полиномы и степенные ряды

Аналогично, при работе с многочлены, удобно определить 00 как имеющий ценность 1. Многочлен - это выражение вида а0Икс0 + ⋅⋅⋅ + апИксп, куда Икс является неопределенным, а коэффициенты ап являются действительными числами (или, в более общем смысле, элементами некоторых звенеть ). Множество всех действительных многочленов от Икс обозначается р[Икс]. Многочлены складываются почленно и умножаются, применяя обычные правила для показателей в неопределенных Икс (видеть Продукт Коши ). С помощью этих алгебраических правил манипуляции полиномы образуют кольцо многочленов. Полином Икс0 это элемент идентичности кольца многочленов, что означает, что это (единственный) элемент такой, что произведение Икс0 с любым многочленом п(Икс) просто п(Икс).[2] Многочлены могут быть вычислены, специализируясь на неопределенных Икс быть реальным числом. Точнее, для любого данного действительного числа Икс0 есть уникальный единый кольцевой гомоморфизм evИкс0 : р[Икс] → р такой, что evИкс0(Икс1) = Икс0.[3] Это называется гомоморфизм оценок. Поскольку это унитальный гомоморфизм, мы имеем evИкс0(Икс0) = 1. То есть, Икс0 = 1 для всех специальностей Икс к действительному числу (включая ноль).

Эта перспектива важна для многих полиномиальных тождеств, возникающих в комбинаторике. Например, биномиальная теорема (1 + Икс)п = ∑п
k=0 (п
k) Иксk не действует для Икс = 0 пока не 00 = 1.[4] Аналогично кольца степенной ряд требовать Икс0 = 1 быть верным для всех специализаций Икс. Таким образом, идентичности вроде 1/1−Икс = ∑∞
п=0 Иксп и еИкс = ∑∞
п=0 Иксп/п! верны только как функциональные идентичности (в том числе Икс = 0) если 00 = 1.

В дифференциальное исчисление, то правило власти d/dxИксп = nxп−1 не действует для п = 1 в Икс = 0 пока не 00 = 1.

Непрерывные показатели

Участок z = Иксу. Красные кривые (с z константа) дают разные пределы как (Икс, у) подходы (0, 0). Зеленые кривые (конечного постоянного наклона, у = топор) все дают предел 1.

Пределы, связанные с алгебраическими операциями, часто можно оценить, заменив подвыражения их пределами; если результирующее выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма.[5] Фактически, когда ж(т) и грамм(т) являются вещественными функциями, оба приближаются 0 (в качестве т приближается к действительному числу или ±∞), с ж(т) > 0, функция ж(т)грамм(т) не нужно приближаться 1; в зависимости от ж и грамм, предел ж(т)грамм(т) может быть любым неотрицательным действительным числом или +∞, или это может расходиться. Например, функции ниже имеют вид ж(т)грамм(т) с ж(т), грамм(т) → 0 в качестве т → 0+ (а односторонний предел ), но пределы другие:

Таким образом, функция двух переменных Иксу, хотя и непрерывно на множестве {(Икс, у) : Икс > 0}, не может быть продлен к непрерывная функция на {(Икс, у) : Икс > 0} ∪ {(0, 0)}, независимо от того, как вы решите определить 00.[6] Однако при определенных условиях, например, когда ж и грамм оба аналитические функции на нуле и ж положительна на открытом интервале (0, б) для некоторых положительных б, предел, приближающийся справа, всегда 1.[7][8][9]

Комплексные показатели

в сложный домен, функция zш можно определить для ненулевого z выбрав ответвляться из бревно z и определение zш в качестве еш бревно z. Это не определяет 0ш поскольку нет филиала бревно z определено в z = 0, не говоря уже о районе 0.[10][11][12]

История разных точек зрения

Споры по поводу определения 00 продолжается по крайней мере с начала 19 века. В то время большинство математиков соглашались, что 00 = 1, до 1821 г. Коши[13] перечисленные 00 наряду с такими выражениями, как 0/0 в таблица неопределенных форм. В 1830-е гг. Гульельмо Либри Каруччи далла Соммаджа[14][15] опубликовал неубедительный аргумент в пользу 00 = 1, и Мебиус[16] встал на его сторону, ошибочно утверждая, что Limт→0+ ж(т)грамм(т) = 1 в любое время Limт→0+ ж(т) = limт→0+ грамм(т) = 0. Комментатор, подписавший свое имя просто буквой «S», привел контрпример (е−1/т)т, и это на некоторое время успокоило дискуссию. Более подробные исторические подробности можно найти в Knuth (1992).[17]

Более поздние авторы интерпретируют описанную выше ситуацию по-разному:

  • Некоторые утверждают, что лучшее соотношение цены и качества 00 зависит от контекста, и, следовательно, определение это раз и навсегда проблематично.[18] Согласно Бенсону (1999), «выбор, определять ли 00 основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения 00, то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. [...] Консенсус заключается в использовании определения 00 = 1, хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения 00."[19]
  • Другие утверждают, что 00 следует определять как 1. Knuth (1992) решительно утверждает, что 00 "имеет быть 1", проводя различие между ценить 00, что должно равняться 1 как ратовал Либри, и предельная форма 00 (сокращение от предела ж(Икс)грамм(Икс) куда ж(Икс), грамм(Икс) → 0), что обязательно является неопределенной формой, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему правда на их стороне».[17] Вон приводит несколько других примеров теорем, для (простейших) формулировок которых требуется 00 = 1 как условность.[20]

Лечение на компьютерах

Стандарт IEEE с плавающей запятой

В IEEE 754-2008 Стандарт с плавающей запятой используется при разработке большинства библиотек с плавающей запятой. Он рекомендует ряд операций для вычисления мощности:[21]

  • пау лечит 00 в качестве 1. Если степень является точным целым числом, результат будет таким же, как и для пух, в противном случае результат такой же, как для Powr (кроме некоторых исключительных случаев).
  • пух лечит 00 в качестве 1. Мощность должна быть точным целым числом. Значение определяется для отрицательных оснований; например., пух (-3,5) является −243.
  • Powr лечит 00 в качестве NaN (Не-число - не определено). Значение также NaN для таких случаев, как Powr (-3,2) где база меньше нуля. Значение Powr (Икс,у) определяется еу бревно(Икс).

В пау вариант вдохновлен пау функция от C99, в основном для совместимости.[22] Это полезно в основном для языков с одной степенной функцией. В пух и Powr варианты были введены из-за противоречивого использования степенных функций и различных точек зрения (как указано выше).[23]

Языки программирования

Стандарты C и C ++ не определяют результат 00 (может произойти ошибка домена), но с C99, если нормативный приложение F поддерживается, результат требуется 1 потому что есть важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN[24] (например, с дискретные показатели ). В Ява стандарт[25] то .NET Framework метод System.Math.Pow,[26] и Python[27][28] также лечить 00 в качестве 1. Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует пау функция от Математическая библиотека C; это случай с Lua[29] и Perl с ** оператор[30] (где прямо указано, что результат 0**0 зависит от платформы).

Математическое и научное программное обеспечение

APL[нужна цитата ], р[31], Stata[нужна цитата ], SageMath[нужна цитата ], Matlab[нужна цитата ], Магма[нужна цитата ], ЗАЗОР[нужна цитата ], Единственное число[нужна цитата ], PARI / GP[32], и GNU Octave[нужна цитата ] оценивать Икс0 к 1. Mathematica[33] и Macsyma[нужна цитата ] упрощать Икс0 к 1 даже если на Икс; однако, если 00 вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. SageMath[нужна цитата ] не упрощает 0Икс. Клен[нужна цитата ], Mathematica[33] и PARI / GP[32][34] далее различать целочисленные значения и значения с плавающей запятой: если показатель степени равен нулю целочисленного типа, они возвращают 1 типа основания; возведение в степень с показателем с плавающей запятой, равным нулю, рассматривается как неопределенное, неопределенное или ошибочное.

Рекомендации

  1. ^ Н. Бурбаки, Элементы математики, теория множеств, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
  2. ^ Николя Бурбаки (1970). Algèbre. Springer., §III.2 № 9: "L'unique monôme de degré 0 est l'élément unité de А[(Икся)я∈я]; на l'identifie souvent à l'élément unité 1 де А".
  3. ^ Николя Бурбаки (1970). Algèbre. Springer., §IV.1 № 3.
  4. ^ «Некоторые учебники оставляют количество 00 undefined, потому что функции Икс0 и 0Икс имеют разные предельные значения, когда Икс уменьшается до 0. Но это ошибка. Мы должны определить Икс0 = 1, для всех Икс, если биномиальная теорема верна при Икс = 0, у = 0, и / или Икс = −у. Биномиальная теорема слишком важна для произвольных ограничений! Напротив, функция 0Икс совершенно неважно ". Рональд Грэм; Дональд Кнут; Орен Паташник (1989-01-05). «Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (1-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман Паблишинг Ко. Стр. 162. ISBN  0-201-14236-8.
  5. ^ Malik, S.C .; Арора, Савита (1992). Математический анализ. Нью-Йорк: Вили. п. 223. ISBN  978-81-224-0323-7. В целом предел φ(Икс)/ψ(Икс) когда Икс = а в случае, если пределы обеих функций существуют, равно пределу числителя, деленному на знаменатель. Но что происходит, когда оба предела равны нулю? Дивизион (0/0) тогда становится бессмысленным. Такой случай известен как неопределенная форма. Другие такие формы ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞ и ∞0.
  6. ^ Л. Дж. Пейдж (март 1954 г.). «Примечание о неопределенных формах». Американский математический ежемесячный журнал. 61 (3): 189–190. Дои:10.2307/2307224. JSTOR  2307224.
  7. ^ "sci.math FAQ: Что такое 0 ^ 0?". www.faqs.org.
  8. ^ Ротандо, Луи М .; Корн, Генри (1977). "Неопределенная форма 00". Математический журнал. Математическая ассоциация Америки. 50 (1): 41–42. Дои:10.2307/2689754. JSTOR  2689754.
  9. ^ Липкин, Леонард Дж. (2003). "О неопределенной форме 00". Математический журнал колледжа. Математическая ассоциация Америки. 34 (1): 55–56. Дои:10.2307/3595845. JSTOR  3595845.
  10. ^ "С журнал (0) не существует, 0z не определено. За Re (z) > 0, мы определяем его произвольно как 0. "Джордж Ф. Кэрриер, Макс Крук и Карл Э. Пирсон, Функции комплексной переменной: теория и методика, 2005, с. 15 ISBN  0-89871-595-4
  11. ^ "За z = 0, ш ≠ 0, мы определяем 0ш = 0, пока 00 не определено. "Марио Гонсалес, Классический комплексный анализ, Chapman & Hall, 1991, стр. 56. ISBN  0-8247-8415-4
  12. ^ "... Начнем с Икс = 0. Здесь ИксИкс не определено ". Марк Д. Мейерсон, The ИксИкс Шпиндель, Математический журнал 69, нет. 3 (июнь 1996 г.), 198-206. Дои:10.1080 / 0025570X.1996.11996428
  13. ^ Огюстен-Луи Коши, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). В его Oeuvres Complètes, серия 2, том 3.
  14. ^ Либри, Гийом (1830 г.). "Note sur les valeurs de la fonction 00Икс". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1830 (6): 67–72. Дои:10.1515 / crll.1830.6.67.
  15. ^ Либри, Гийом (1833). "Mémoire sur les fonctions прекращается". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1833 (10): 303–316. Дои:10.1515 / crll.1833.10.303.
  16. ^ А. Ф. Мёбиус (1834). "Beweis der Gleichung 00 = 1, нач Дж. Ф. Пфафф " [Доказательство уравнения 00 = 1по Дж. Ф. Пфаффу]. Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1834 (12): 134–136. Дои:10.1515 / crll.1834.12.134.
  17. ^ а б Кнут, Дональд Э. (1992). «Два примечания по обозначениям». Американский математический ежемесячник. 99 (5): 403–422. arXiv:математика / 9205211. Дои:10.1080/00029890.1992.11995869.
  18. ^ Примеры включают Эдвардс и Пенни (1994). Исчисление, 4-е изд., Прентис-Холл, стр. 466 и Киди, Биттингер и Смит (1982). Алгебра два. Эддисон-Уэсли, стр. 32.
  19. ^ Дональд С. Бенсон, Момент доказательства: математические прозрения. Издательство Нью-Йоркского Оксфордского университета (Великобритания), 1999. ISBN  978-0-19-511721-9
  20. ^ "Что такое 0 ^ 0?". www.maa.org. Получено 2019-07-26.
  21. ^ Мюллер, Жан-Мишель; Брисебар, Николас; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Revol, Натали; Stehlé, Damien; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей точкой (1-е изд.). Биркхойзер. п. 216. Дои:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN  978-0-8176-4704-9. LCCN  2009939668. ISBN  978-0-8176-4705-6 (онлайн), ISBN  0-8176-4704-X (Распечатать)
  22. ^ «Больше трансцендентных вопросов». grouper.ieee.org. Архивировано из оригинал на 2017-11-14. Получено 2019-05-27. (Начало обсуждения функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
  23. ^ «Re: расплывчатая спецификация». grouper.ieee.org. Архивировано из оригинал на 2017-11-14. Получено 2019-05-27. (Предложение вариантов при обсуждении функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
  24. ^ Обоснование международного стандарта - языки программирования - C (PDF) (Отчет). Редакция 5.10. Апрель 2003. с. 182.
  25. ^ "Math (Java Platform SE 8) pow". Oracle.
  26. ^ "Метод Math.Pow библиотеки классов .NET Framework". Microsoft.
  27. ^ «Встроенные типы - документация Python 3.8.1». Получено 2020-01-25. Python определяет pow (0, 0) и 0 ** 0 быть 1, как это принято в языках программирования.
  28. ^ «math - Математические функции - Документация Python 3.8.1». Получено 2020-01-25. Исключительные случаи, насколько это возможно, соответствуют Приложению F стандарта C99. Особенно, pow (1.0, x) и pow (x, 0,0) всегда возвращать 1.0, даже если Икс это ноль или NaN.
  29. ^ "Справочное руководство по Lua 5.3". Получено 2019-05-27.
  30. ^ «перлоп - Возведение в степень». Получено 2019-05-27.
  31. ^ Команда R Core (05.07.2019). "R: язык и среда для статистических вычислений - справочный указатель" (PDF). Версия 3.6.1. п. 23. Получено 22 ноября, 2019. 1 ^ г и у ^ 0 равны 1, всегда.
  32. ^ а б "pari.git / commitdiff - 10- x ^ t_FRAC: вернуть точный результат, если возможно; например, 4 ^ (1/2) теперь 2". Получено 10 сентября, 2018.
  33. ^ а б "Язык Wolfram Language и системная документация: мощность". Вольфрам. Получено 2 августа, 2018.
  34. ^ Группа компаний PARI (2018). «Руководство пользователя PARI / GP (версия 2.11.0)» (PDF). стр.10, 122. Получено 4 сентября, 2018. Существует также оператор возведения в степень ^, когда показатель степени имеет целочисленный тип; в противном случае это считается трансцендентной функцией. [...] Если показатель степени п является целым числом, то точные операции выполняются с использованием методов двоичного (сдвиг влево) включения. [...] Если показатель степени п не является целым числом, включение рассматривается как трансцендентная функция ехр (п бревно Икс).

внешняя ссылка