Колебания (математика) - Википедия - Oscillation (mathematics)

Колебание последовательности (показано синим) - это разница между верхним и нижним пределом последовательности.

В математика, то колебание из функция или последовательность это число, которое количественно определяет, насколько эта последовательность или функция различаются между своими крайние значения по мере приближения к бесконечности или точке. Как и в случае с пределы, есть несколько определений, которые приводят интуитивное понятие в форму, подходящую для математической обработки: колебание последовательности действительные числа, колебание функция с действительным знаком в точке, а колебание функции на интервал (или же открытый набор ).

Определения

Колебание последовательности

Позволять ${ Displaystyle (а_ {п})}$ быть последовательностью действительных чисел. Колебание ${ displaystyle omega (а_ {п})}$ этой последовательности определяется как разность (возможно, бесконечная) между ограничивать высшее и ограничивать низшее из ${ Displaystyle (а_ {п})}$ :

{ displaystyle omega (a_ {n}) = limsup _ {n to infty} a_ {n} - liminf _ {n to infty} a_ {n}}

.

Колебание равно нулю тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Не определено, если ${ Displaystyle limsup _ {п к infty}}$ и ${ Displaystyle liminf _ {п к infty}}$ оба равны + ∞ или оба равны −∞, то есть если последовательность стремится к + ∞ или −∞.

Колебание функции на открытом множестве

Позволять ${ displaystyle f}$ быть действительной функцией действительной переменной. Колебание ${ displaystyle f}$ на интервале ${ displaystyle I}$ в его области - разница между супремум и инфимум из ${ displaystyle f}$ :

{ displaystyle omega _ {f} (I) = sup _ {x in I} f (x) - inf _ {x in I} f (x).}

В более общем смысле, если ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ является функцией на топологическое пространство ${ displaystyle X}$ (например, метрическое пространство ), то колебание ${ displaystyle f}$ на открытый набор ${ displaystyle U}$ является

{ displaystyle omega _ {f} (U) = sup _ {x in U} f (x) - inf _ {x in U} f (x).}

Колебание функции в точке

Колебание функции ${ displaystyle f}$ действительной переменной в точке ${ displaystyle x_ {0}}$ определяется как предел как ${ displaystyle epsilon to 0}$ колебания ${ displaystyle f}$ на ${ displaystyle epsilon}$ -окрестности ${ displaystyle x_ {0}}$ :

{ displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = lim _ { epsilon to 0} omega _ {f} (x_ {0} - epsilon, x_ {0} + epsilon). }

Это то же самое, что и разница между верхним пределом и нижним пределом функции при ${ displaystyle x_ {0}}$ , при условии смысл ${ displaystyle x_ {0}}$ не исключен из лимитов.

В более общем смысле, если ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ является действительной функцией на метрическое пространство, то колебание

{ displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = lim _ { epsilon to 0} omega _ {f} (B _ { epsilon} (x_ {0})).}

Примеры

грех (1 /Икс) ( синусоида тополога ) имеет колебание 2 при Икс = 0 и 0 в других местах.

1/Икс имеет колебание ∞ при Икс = 0, и колебание 0 при других конечных Икс и при −∞ и + ∞.
грех (1 /Икс) ( синусоида тополога ) имеет колебание 2 при Икс = 0 и 0 в других местах.
грех Икс имеет колебание 0 на каждой конечной Икс, и 2 в точках −∞ и + ∞.
Последовательность 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... имеет колебание 2.

В последнем примере последовательность такова: периодический, и любая последовательность, которая является периодической, но не постоянной, будет иметь ненулевые колебания. Однако ненулевое колебание обычно не указывает на периодичность.

Геометрически график колебательной функции действительных чисел следует некоторому пути в ху-самолет, не заселяя все более мелкие регионы. В хорошо воспитанный случаи, когда путь может выглядеть как цикл, возвращающийся сам по себе, то есть периодическое поведение; в худшем случае - совершенно нерегулярное движение, охватывающее весь регион.

Непрерывность

Колебание можно использовать для определения непрерывность функции, и легко эквивалентен обычному ε-δ определение (в случае функций, определенных всюду на вещественной прямой): функция непрерывна в точке Икс₀ тогда и только тогда, когда колебание равно нулю;^[1] в символах, ${ displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$ Преимущество этого определения в том, что оно количественно оценивает прерывность: колебание дает, как много функция разрывная в точке.

Например, в классификация несплошностей:

в удаляемом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
в скачкообразном разрыве размер скачка - это колебание (при условии, что значение в точка лежит между этими пределами с двух сторон);
в существенном разрыве колебание измеряет несуществование предела.

Это определение полезно в описательная теория множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек - непрерывные точки являются пересечением множеств, где колебание меньше, чем ε (отсюда грамм_δ набор ) - и дает очень быстрое доказательство одного направления Условие интегрируемости Лебега.^[2]

Колебание эквивалентно ε-δ определение путем простой перестановки и использования предела (лим суп, lim inf ) для определения колебаний: если (в заданной точке) для заданного ε₀ здесь нет δ что удовлетворяет ε-δ определения, то колебание не менее ε₀, и наоборот, если для каждого ε есть желаемый δ, колебание равно 0. Определение колебания может быть естественным образом обобщено на отображение топологического пространства в метрическое пространство.

Обобщения

В более общем смысле, если ж : Икс → Y является функцией от топологическое пространство Икс в метрическое пространство Y, то колебание ж определяется на каждом Икс ∈ Икс к

{ displaystyle omega (x) = inf left { mathrm {diam} (f (U)) mid U mathrm { is a окрестности of } x right }}