Закон параллелограмма - Википедия - Parallelogram law

Параллелограмм. Стороны показаны синим цветом, а диагонали - красным.

В математика, простейшая форма закон параллелограмма (также называемый тождество параллелограмма) принадлежит элементарному геометрия. В нем говорится, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмм равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Используя обозначения на схеме справа, стороны имеют вид (AB), (до н.э), (CD), (DA). Но поскольку в Евклидова геометрия у параллелограмма обязательно противоположные стороны равны, т. е. (AB) = (CD) и (до н.э) = (DA) закон можно записать как

${ Displaystyle 2 (AB) ^ {2} +2 (BC) ^ {2} = (AC) ^ {2} + (BD) ^ {2} ,}$

Если параллелограмм прямоугольник, две диагонали равной длины (AC) = (BD), так

${ Displaystyle 2 (AB) ^ {2} +2 (BC) ^ {2} = 2 (AC) ^ {2} ,}$

и утверждение сводится к теорема Пифагора. Для общего четырехугольник с четырьмя сторонами не обязательно равными,

${ Displaystyle (AB) ^ {2} + (BC) ^ {2} + (CD) ^ {2} + (DA) ^ {2} = (AC) ^ {2} + (BD) ^ {2} + 4x ^ {2},}$

куда Икс это длина отрезок присоединение к средние точки диагоналей. Из диаграммы видно, что Икс = 0 для параллелограмма, и поэтому общая формула упрощается до закона параллелограмма.

Доказательство

Пусть в параллелограмме слева AD = BC = a, AB = DC = b, ∠BAD = α. Используя закон косинусов в треугольнике ΔBAD получаем:

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos ( alpha) = BD ^ {2}}$

В параллелограмме смежные углы находятся дополнительный, поэтому ∠ADC = 180 ° -α. Используя закон косинусов в треугольнике ΔADC получаем:

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos (180 ^ { circ} - alpha) = AC ^ {2}}$

Применяя тригонометрическая идентичность ${ displaystyle cos (180 ^ { circ} -x) = - cos x}$ к первому результату получаем:

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + 2ab cos ( alpha) = AC ^ {2}}$

Теперь сумма квадратов ${ displaystyle BD ^ {2} + AC ^ {2}}$ можно выразить как:

${ Displaystyle BD ^ {2} + AC ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos ( alpha) + a ^ {2} + b ^ {2} + 2ab cos ( альфа)}$

После упрощения этого выражения получаем:

${ displaystyle BD ^ {2} + AC ^ {2} = 2a ^ {2} + 2b ^ {2}}$

Закон параллелограмма во внутренних пространствах продукта

Векторы, участвующие в законе параллелограмма.

В нормированное пространство, формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы:

${ displaystyle 2 | x | ^ {2} +2 | y | ^ {2} = | x + y | ^ {2} + | x-y | ^ {2}. ,}$      для всех ${ displaystyle x, y}$

Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению:

${ Displaystyle 2 | х | ^ {2} +2 | y | ^ {2} leq | x + y | ^ {2} + | x-y | ^ {2} ,}$      для всех ${ displaystyle x, y}$

потому что обратное неравенство может быть получено из него, подставив ${ displaystyle { frac {1} {2}} left (x + y right)}$ за Икс, и ${ displaystyle { frac {1} {2}} left (x-y right)}$ за у, а затем упрощение. При таком же доказательстве закон параллелограмма также эквивалентен:

${ Displaystyle | х + у | ^ {2} + | х-у | ^ {2} leq 2 | х | ^ {2} +2 | у | ^ {2} ,}$      для всех ${ displaystyle x, y.}$

В внутреннее пространство продукта, норма определяется с помощью внутренний продукт:

${ Displaystyle | х | ^ {2} = langle x, x rangle. ,}$

Как следствие этого определения, в пространстве внутреннего продукта закон параллелограмма представляет собой алгебраическое тождество, легко устанавливаемое с использованием свойств внутреннего продукта:

${ displaystyle | x + y | ^ {2} = langle x + y, x + y rangle = langle x, x rangle + langle x, y rangle + langle y, x rangle + langle y, y rangle, ,}$

${ displaystyle | xy | ^ {2} = langle xy, xy rangle = langle x, x rangle - langle x, y rangle - langle y, x rangle + langle y, y rangle. ,}$

Добавляем эти два выражения:

${ Displaystyle | х + у | ^ {2} + | ху | ^ {2} = 2 langle x, x rangle +2 langle y, y rangle = 2 | x | ^ {2} +2 | y | ^ {2}, ,}$

как требуется.

Если Икс ортогонален у, тогда ${ Displaystyle langle х, у rangle = 0}$ и приведенное выше уравнение для нормы суммы принимает следующий вид:

${ Displaystyle | х + Y | ^ {2} = langle x, x rangle + langle x, y rangle + langle y, x rangle + langle y, y rangle = | x | ^ {2} + | y | ^ {2},}$

который Теорема Пифагора.

Нормированные векторные пространства, удовлетворяющие закону параллелограмма

Наиболее настоящий и сложный нормированные векторные пространства не имеют внутренних произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, обычно используемой нормой является п-норма:

${ Displaystyle | х | _ {p} = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} right) ^ { frac {1} {p }},}$

где ${ displaystyle x_ {i}}$ компоненты вектора ${ displaystyle x}$.

Имея норму, можно оценить обе стороны приведенного выше закона параллелограмма. Примечателен тот факт, что если выполняется закон параллелограмма, то норма должна возникать обычным образом из некоторого внутреннего продукта. В частности, это верно для п-норма тогда и только тогда, когда п = 2, так называемый Евклидово норма или стандарт норма.^[1][2]

Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (которая обязательно является нормой внутреннего продукта), внутренний продукт, порождающий норму, является уникальным как следствие поляризационная идентичность. В реальном случае идентичность поляризации определяется выражением:

${ displaystyle langle x, y rangle = { frac { | x + y | ^ {2} - | x-y | ^ {2}} {4}},}$

или эквивалентно

${ displaystyle { frac { | x + y | ^ {2} - | x | ^ {2} - | y | ^ {2}} {2}} }$ или же ${ displaystyle { frac { | x | ^ {2} + | y | ^ {2} - | x-y | ^ {2}} {2}}.}$

В сложном случае это определяется как:

${ displaystyle langle x, y rangle = { frac { | x + y | ^ {2} - | xy | ^ {2}} {4}} + i { frac { | ix -y | ^ {2} - | ix + y | ^ {2}} {4}}.}$

Например, используя п-норма с п = 2 и действительные векторы ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, оценка внутреннего продукта происходит следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} langle x, y rangle & = { frac { | x + y | ^ {2} - | xy | ^ {2}} {4}} & = { tfrac {1} {4}} left [ sum | x_ {i} + y_ {i} | ^ {2} - sum | x_ {i} -y_ {i} | ^ {2} right] & = { tfrac {1} {4}} left [4 sum x_ {i} y_ {i} right] & = x cdot y, end {выравнивается}}}$

что является стандартом скалярное произведение двух векторов.

Смотрите также

• Франсуа Давье
• Коммутативная собственность
• Внутреннее пространство продукта
• Нормированное векторное пространство
• Поляризационная идентичность

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон параллелограмма». MathWorld.
• Закон параллелограмма доказывается просто в Блог Dreamshire
• Закон параллелограмма: доказательство без слов в завязать узел