Коническая поверхность - Conical surface

Круглая коническая поверхность

В геометрия, а (Общее) коническая поверхность безграничный поверхность образованный союзом всех прямых линии которые проходят через фиксированную точку - вершина или же вершина - и любая точка некоторого фиксированного пространственная кривая - в директриса - не содержит вершины. Каждая из этих строк называется образующая поверхности.

Каждая коническая поверхность управлял и развивающийся. В общем, коническая поверхность состоит из двух конгруэнтных неограниченных половин, соединенных вершиной. Каждая половина называется покрывало, и является объединением всех лучи которые начинаются на вершине и проходят через точку некоторой фиксированной пространственной кривой. (Однако в некоторых случаях две оболочки могут пересекаться или даже совпадать с полной поверхностью.) Иногда термин «коническая поверхность» используется для обозначения только одной оболочки.

Если директриса - круг ${ displaystyle C}$ , а вершина расположена на ось (линия, содержащая центр ${ displaystyle C}$ и перпендикулярна его плоскости), получаем правая круглая коническая поверхность. Этот частный случай часто называют конус, потому что это одна из двух различных поверхностей, ограничивающих геометрическое тело этого имени. Этот геометрический объект также можно описать как набор всех точек, проходящих по линии, пересекающей ось и вращается вокруг него; или объединение всех линий, пересекающих ось в фиксированной точке ${ displaystyle p}$ и под фиксированным углом ${ displaystyle theta}$ . В отверстие конуса угол ${ displaystyle 2 theta}$ .

В более общем смысле, когда директриса ${ displaystyle C}$ является эллипс, или любой коническая секция, а вершина - произвольная точка не на плоскости ${ displaystyle C}$ , получаем коническая квадрика, который является частным случаем квадратичная поверхность.

А цилиндрическая поверхность можно рассматривать как предельный случай конической поверхности, вершина которой смещена на бесконечность в определенном направлении. Действительно, в проективная геометрия Цилиндрическая поверхность - это просто частный случай конической поверхности.

Уравнения

Коническая поверхность ${ displaystyle S}$ можно описать параметрически в качестве

{ Displaystyle S (t, u) = v + uq (t)}

,

куда ${ displaystyle v}$ это вершина и ${ displaystyle q}$ директриса.

Правая круглая коническая поверхность отверстия ${ displaystyle 2 theta}$ , осью которой является ${ displaystyle z}$ ось координат, вершина которой является началом координат, параметрически описывается как

{ Displaystyle S (T, и) = (и грех тета соз т, и грех тета грех т, и соз тета)}

куда ${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle u}$ диапазон более ${ displaystyle [0,2 pi)}$ и ${ Displaystyle (- infty, + infty)}$ , соответственно. В скрытый форма, та же поверхность описывается ${ Displaystyle S (х, y, z) = 0}$ куда

{ Displaystyle S (Икс, Y, Z) = (Икс ^ {2} + Y ^ {2}) ( соз theta) ^ {2} -z ^ {2} ( sin theta) ^ {2 }.}

В более общем смысле, правая круглая коническая поверхность с вершиной в начале координат, ось параллельна вектору ${ displaystyle mathbf {d}}$ , и апертура ${ displaystyle 2 theta}$ , задается неявным вектор уравнение ${ Displaystyle S ( mathbf {x}) = 0}$ куда

{ Displaystyle S ( mathbf {x}) = ( mathbf {x} cdot mathbf {d}) ^ {2} - ( mathbf {d} cdot mathbf {d}) ( mathbf {x } cdot mathbf {x}) ( cos theta) ^ {2}}

или же

{ Displaystyle S ( mathbf {x}) = mathbf {x} cdot mathbf {d} - | mathbf {d} || mathbf {x} | cos theta}

куда ${ Displaystyle mathbf {x} = (х, y, z)}$ , и ${ Displaystyle mathbf {х} cdot mathbf {d}}$ обозначает скалярное произведение.

В трех координатах, x, y и z, коническая поверхность с эллиптической направляющей с вершиной в начале координат задается этим однородным уравнением степени 2:

{ displaystyle S (x, y, z) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + 2uxy + 2vyz + 2wzx = 0.}

Коническая поверхность - Conical surface

Уравнения

Смотрите также