Гипотеза каталонцев - Википедия - Catalans conjecture

По поводу гипотезы Каталана о аликвотной последовательности см. аликвотная последовательность.

Гипотеза Каталана (или же Теорема Михайлеску) это теорема в теория чисел что было предполагаемый математиком Эжен Шарль Каталан в 1844 г. и доказано в 2002 г. Преда Михайлеску.^[1]^[2] Целые числа 2³ и 3² два полномочия из натуральные числа значения которых (8 и 9 соответственно) последовательные. Теорема утверждает, что это Только случай двух последовательных полномочий. То есть, что

Гипотеза Каталана — единственный решение в натуральных числах из

{ displaystyle x ^ {a} -y ^ {b} = 1}

за $а$ , $б$ > 1, $Икс$ , $у$ > 0 это $Икс$ = 3, $а$ = 2, $у$ = 2, $б$ = 3.

История

История проблемы восходит как минимум к Герсонид, который доказал частный случай гипотезы в 1343 г., где (Икс, у) был ограничен (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталан высказал свое предположение, произошел в 1850 г. Виктор-Амеде Лебег рассмотрел дело б = 2.^[3]

В 1976 г. Роберт Тийдеман применяемый Метод Бейкера в теория трансцендентности чтобы установить границу a, b и использовать существующие результаты, ограничивающие Икс,у с точки зрения а, б дать эффективную верхнюю оценку для Икс,у,а,б. Мишель Ланжевен вычислил значение ${ Displaystyle ехр ехр ехр ехр 730 приблизительно 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {317}}}}}$ для связи.^[4] Это разрешило гипотезу Каталана во всех случаях, кроме конечного числа. Тем не менее конечные вычисления, необходимые для завершения доказательства теоремы, были слишком трудоемкими для выполнения.

Гипотеза Каталана была подтверждена Преда Михайлеску в апреле 2002 г. Доказательство опубликовано в Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Он широко использует теорию циклотомические поля и Модули Галуа. Изложение доказательства было дано Юрий Билу в Séminaire Bourbaki.^[5] В 2005 году Михэилеску опубликовал упрощенное доказательство.^[6]

Обобщение

Это предположение, что для любого натурального числа п, существует лишь конечное число пар совершенные силы с разницей п. В приведенном ниже списке для п ≤ 64, все решения для идеальных мощностей менее 10¹⁸, так как OEIS: A076427. Смотрите также OEIS: A103953 для наименьшего решения (> 0).

п	решение считать	числа k такой, что k и k + п оба идеальные силы	п	решение считать	числа k такой, что k и k + п оба идеальные силы
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	никто
3	2	1, 125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14348907
6	0	никто	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32761	39	4	25, 361, 961, 10609
8	3	1, 8, 97336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	никто
11	4	16, 25, 3125, 3364	43	1	441
12	2	4, 2197	44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	никто	46	1	243
15	3	1, 49, 1295029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	3	32, 576, 274576
18	3	9, 225, 343	50	0	никто
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4, 100	53	2	676, 24336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025	55	3	9, 729, 175561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42849, 6436343	58	0	никто
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4	4, 196, 2515396, 2535525316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	никто
31	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183250369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

Гипотеза Пиллаи

Нерешенная проблема в математике:

Каждое ли положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней?

(больше нерешенных задач по математике)

Гипотеза Пиллаи касается общей разницы совершенных степеней (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная С. С. Пиллаи, который предположил, что промежутки в последовательности совершенных степеней стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем плане, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных положительных целых чисел А, B, C уравнение ${ displaystyle Ax ^ {n} -По ^ {m} = C}$ имеет только конечное число решений (Икс, у, м, п) с (м, п) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что разница ${ displaystyle | Ax ^ {n} -By ^ {m} | gg x ^ { lambda n}}$ для любого λ меньше 1 равномерно по м и п.^[7]

Общая гипотеза вытекает из Гипотеза ABC.^[7]^[8]

Пол Эрдёш предполагаемый^{[нужна цитата ]} что восходящая последовательность ${ Displaystyle (а_ {п}) _ {п в mathbb {N}}}$ совершенных способностей удовлетворяет ${ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}> n ^ {c}}$ для некоторой положительной постоянной c и все достаточно большиеп.

Смотрите также

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В., Гипотеза Каталана, MathWorld
^ Михэилеску 2004
^ Виктор-Амеде Лебег (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation" Икс^м=у²+1", Nouvelles annales de mathématiques, 1^{повторно} серия 9: 178–181
^ Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций о Великой теореме Ферма, Springer-Verlag, п. 236, г. ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006
^ Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонии», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Выставки 909-923, Astérisque, 294, стр. 1–26
^ Михэилеску 2005
^ ^а ^б Наркевич, Владислав (2011), Рациональная теория чисел в 20 веке: от PNT к FLT, Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, стр.253 –254, ISBN 978-0-857-29531-6
^ Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения, Конспект лекций по математике, 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag, п. 207, ISBN 3-540-54058-Х, Zbl 0754.11020

внешняя ссылка

[1] Вайсштейн, Эрик В., Гипотеза Каталана, MathWorld

[2] Михэилеску 2004

[3] Виктор-Амеде Лебег (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation" Икс^м=у²+1", Nouvelles annales de mathématiques, 1^{повторно} серия 9: 178–181

[4] Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций о Великой теореме Ферма, Springer-Verlag, п. 236, г. ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006

[5] Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонии», Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Выставки 909-923, Astérisque, 294, стр. 1–26

[6] Михэилеску 2005

[rnt-7] а ^б Наркевич, Владислав (2011), Рациональная теория чисел в 20 веке: от PNT к FLT, Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, стр.253 –254, ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовы приближения и диофантовы уравнения, Конспект лекций по математике, 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag, п. 207, ISBN 3-540-54058-Х, Zbl 0754.11020

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]