Теорема Тийдеманса - Википедия - Tijdemans theorem

В теория чисел, Теорема Тийдемана утверждает, что существует не более конечного числа последовательных степеней. Другими словами, множество решений в целых числах Икс, у, п, м из экспоненциальное диофантово уравнение

${ Displaystyle у ^ {м} = х ^ {п} +1,}$

для экспонентов п и м больше единицы, конечно.^[1][2]

История

Теорема была доказана голландским теоретиком чисел. Роберт Тийдеман в 1976 г.^[3] используя Метод Бейкера в трансцендентная теория чисел дать эффективный верхняя граница для Икс,у,м,п. Мишель Ланжевен вычислил значение exp exp exp exp exp 730 для границы.^[1][4][5]

Теорема Тейдемана дала мощный импульс к окончательному доказательству Гипотеза Каталана к Преда Михайлеску.^[6] Теорема Михайлеску утверждает, что есть только один член в наборе последовательных пар степеней, а именно 9 = 8 + 1.^[7]

Обобщенная проблема Тийдемана

То, что полномочия являются последовательными, существенно для доказательства Тийдемана; если мы заменим разницу 1 любой другой разницей k и спросите количество решений

${ Displaystyle у ^ {м} = х ^ {п} + к}$

с п и м больше одного у нас есть нерешенная проблема,^[8] называется обобщенной проблемой Тейдемана. Предполагается, что это множество также будет конечным. Это следует из еще более сильной гипотезы Суббайя Шивасанкаранараяна Пиллай (1931), см. Гипотеза Каталана, утверждая, что уравнение ${ displaystyle Ay ^ {m} = Bx ^ {n} + k}$ имеет только конечное число решений. Истинность гипотезы Пиллаи, в свою очередь, вытекала бы из истинности гипотеза abc.^[9]

Рекомендации