Гипотеза Эрдеша – Штрауса - Erdős–Straus conjecture

Нерешенная проблема в математике:

Делает

4/ п = 1/ Икс + 1/ у + 1/ z

иметь положительное целочисленное решение для каждого целого числа

п \geq 2

?

(больше нерешенных задач по математике)

В теория чисел, то Гипотеза Эрдеша – Штрауса заявляет, что для всех целые числа $п \geq 2$ , то Рациональное число $4/ п$ можно выразить как сумму трех положительных единицы измерения. Пол Эрдёш и Эрнст Г. Штраус сформулировал гипотезу в 1948 году.^[1] Это один из многих гипотезы Эрдеша.

Если $п$ это составное число, $п = pq$ , то разложение для $4/ п$ можно найти в расширении для $4/ п$ или же $4/ q$ . Следовательно, если существует контрпример к гипотезе Эрдеша – Штрауса, наименьшее $п$ создание контрпримера должно быть простое число, и в дальнейшем его можно ограничить одним из шести бесконечных арифметические прогрессии по модулю $840$ .^[2] Компьютерный поиск подтвердил истинность гипотезы до $п \leq 10 17$ ,^[3] но доказывая это для всех $п$ остается открытая проблема.

Ограничение, что три дроби должны быть положительными, существенно усложняет задачу, поскольку, если допускаются отрицательные значения, проблема всегда может быть решена.

Формулировка

Более формально гипотеза утверждает, что для любого целого числа $п \geq 2$ , существуют натуральные числа $Икс$ , $у$ , и $z$ такой, что

{ displaystyle { frac {4} {n}} = { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} + { frac {1} {z}}.}

Например, для $п = 5$ , есть два решения:

{ displaystyle { frac {4} {5}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {20}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {10}}.}

Некоторые исследователи дополнительно требуют, чтобы эти целые числа были отличны друг от друга, в то время как другие позволяют им быть равными. За $п \geq 3$ , не имеет значения, должны ли они быть разными: если существует решение с любыми тремя целыми числами $Икс$ , $у$ , и $z$ тогда существует решение с различными целыми числами.^[4] За $п = 2$ , однако единственное решение - $4/2 = 1/2 + 1/2 + 1/1$ , с точностью до перестановки слагаемых. Когда $Икс$ , $у$ , и $z$ различны, то эти единичные дроби образуют Египетская фракция представление числа $4/ п$ .

Фон

Поиск разложений рациональных чисел в виде сумм единичных дробей восходит к математика Древнего Египта, в котором Египетская фракция расширения этого типа использовались в качестве обозначения для записи дробных величин. Египтяне производили такие столы, как Математический папирус Райнда 2 / п таблица разложений дробей вида 2 /п, большинство из которых используют два или три термина. Египетские дроби обычно имеют дополнительное ограничение, заключающееся в том, что все единичные дроби должны отличаться друг от друга, но для целей гипотезы Эрдеша – Штрауса это не имеет значения: если 4 /п может быть выражена как сумма трех единичных дробей, это также может быть выражена как сумма трех различных единичных дробей путем многократной замены любой дублированной дроби одним из следующих двух расширений,

{ displaystyle { frac {1} {2r}} + { frac {1} {2r}} Rightarrow { frac {1} {r + 1}} + { frac {1} {r (r + 1)}}}

{ displaystyle { frac {1} {2r + 1}} + { frac {1} {2r + 1}} Rightarrow { frac {1} {r + 1}} + { frac {1} { (г + 1) (2r + 1)}}}

(в зависимости от того, имеет ли повторяющаяся дробь четный или нечетный знаменатель), пока не останется повторяющихся дробей.^[5]

В жадный алгоритм для египетских дробей, впервые описанный в 1202 г. Фибоначчи в его книге Liber Abaci, находит расширение, в котором каждый последующий член представляет собой наибольшую единичную дробь, не превышающую оставшееся число, которое необходимо представить. Для дробей вида 2 /п или 3 /п, жадный алгоритм использует не более двух или трех членов соответственно. В более общем плане можно показать, что число вида 3 /п имеет двухчленное разложение тогда и только тогда, когда п имеет множитель, сравнимый с 2 по модулю 3, и требует трех членов в любом разложении в противном случае. Таким образом, для числителей 2 и 3 вопрос о том, сколько членов необходимо в египетской дроби, полностью решен, и дроби вида 4 /п являются первым случаем, когда длина расширения наихудшего случая остается неизвестной. Жадный алгоритм производит расширения длины два, три или четыре в зависимости от значения п по модулю 4; когда п сравнимо с 1 по модулю 4, жадный алгоритм производит четырехчленное разложение. Следовательно, длина египетской дроби 4 / в наихудшем случаеп должно быть три или четыре. Гипотеза Эрдеша – Страуса утверждает, что в этом случае, как и в случае с числителем 3, максимальное количество членов в разложении равно трем.^[6]

Модульные идентичности

Умножая обе части уравнения 4 /п = 1/Икс + 1/у + 1/z к nxyz приводит к эквивалентному виду 4xyz = п(ху + xz + yz) для проблемы.^[7] Как полиномиальное уравнение с целочисленными переменными, это пример Диофантово уравнение. В Принцип Хассе для диофантовых уравнений утверждает, что целочисленное решение диофантова уравнения должно быть образовано путем объединения решений, полученных по модулю каждого возможного простое число. На первый взгляд этот принцип не имеет смысла для гипотезы Эрдеша – Штрауса, поскольку уравнение 4xyz = п(ху + xz + yz) легко разрешима по модулю любого простого числа. Тем не менее, модульные тождества оказались очень важным инструментом при изучении гипотезы.

Для значений п удовлетворение определенных отношения конгруэнтности, можно найти расширение для 4 /п автоматически как экземпляр полиномиального тождества. Например, когда п ≡ 2 (мод. 3), 4 /п имеет расширение

{ displaystyle { frac {4} {n}} = { frac {1} {n}} + { frac {1} {(n + 1) / 3}} + { frac {1} {n (n + 1) / 3}}.}

Здесь каждый из трех знаменателей п, (п + 1) / 3, и п(п + 1) / 3 - многочлен от п, и каждый является целым числом, когда п равно 2 (мод. 3). жадный алгоритм для египетских дробей находит решение в трех или меньшем количестве, когда п не 1 или 17 (мод 24), и п Случай 17 (mod 24) покрывается соотношением 2 (mod 3), поэтому единственные значения п для которых эти два метода не находят разложения в три или меньше членов, совпадают с 1 (mod 24).

Если бы можно было найти решения, подобные приведенным выше, для достаточно разных модулей, образуя полный система покрытия совпадений, проблема будет решена. Однако, как Морделл (1967) показал, полиномиальное тождество, которое обеспечивает решение для значений п соответствует р мод п может существовать только когда р это не квадратичный вычет по модулю п. Например, 2 не является квадратичным вычетом по модулю 3, поэтому существование тождества для значений п которые сравнимы с 2 по модулю 3, не противоречат результату Морделла, но 1 является квадратичным вычетом по модулю 3, поэтому результат доказывает, что не может быть аналогичного тождества для все ценности п которые сравнимы с 1 по модулю 3. Поскольку 1 - квадратичный вычет по модулю n (n> 1), не может быть полной покрывающей системы модулярных тождеств для всех n.

Полиномиальные тождества, перечисленные Морделлом, обеспечивают трехчленные египетские дроби для 4 /п в любое время п это 2 mod 3 (выше), 3 mod 4, 2 или 3 mod 5, 3, 5 или 6 mod 7 или 5 mod 8 (2, 3, 6 и 7 mod 8 уже охвачены более ранними идентификаторами). Эти тождества охватывают все числа, которые не являются квадратичными вычетами для этих базисов. Однако для больших базисов не все невычеты, как известно, покрываются отношениями этого типа. Из тождеств Морделла можно сделать вывод, что существует решение для всех п кроме, возможно, тех, которые равны 1, 121, 169, 289, 361 или 529 по модулю 840. 1009 - это наименьшее простое число, которое не охвачено этой системой сравнений. Объединив более крупные классы модульных идентичностей, Уэбб и другие показали, что доля п в интервале [1,N], который может быть контрпримером к гипотезе, стремится к нулю в пределе, когда N уходит в бесконечность.^[8]

Несмотря на то, что результат Морделла ограничивает форму, которую могут принимать эти конгруэнтные тождества, все еще есть некоторая надежда на использование модульных тождеств для доказательства гипотезы Эрдеша – Штрауса. Простое число не может быть квадратом, поэтому Теорема Хассе – Минковского, в любое время п простое число, существует большее простое число q такой, что п не является квадратичным вычетом по модулю q. Один из возможных подходов к доказательству гипотезы - найти для каждого простого числа п большее простое число q и сравнение, решающее 4 /п проблема для п ≡ п (мод q); если бы это можно было сделать, без прайма п может быть контрпримером к гипотезе, и предположение будет верным.

Вычислительная проверка

Различные авторы исполнили поиск грубой силы за контрпримеры к гипотезе; эти поиски можно значительно ускорить, если рассматривать только простые числа, не охваченные известными соотношениями сравнения.^[9] Поиски такого типа подтвердили, что гипотеза верна для всех п до 10¹⁷.^[3]

Количество решений

Количество различных решений 4 /п проблема, как функция п, также был обнаружен компьютерным поиском небольших п и, кажется, растет несколько неравномерно с п. Начиная с п = 3, количество различных решений с разными знаменателями равно

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (последовательность A073101 в OEIS ).

Даже для больших п решений может быть относительно немного; например, есть только семь различных решений для п = 73.

Эльшольц и Тао (2013) показали, что среднее количество решений 4 /п проблема (усредненная по простым числам до п) является ограниченный сверху полилогарифмически в п. Для некоторых других диофантовых проблем можно доказать, что решение всегда существует, путем доказательства асимптотический нижняя граница от числа решений, но доказательства этого типа существуют в первую очередь для задач, в которых число решений растет полиномиально, поэтому результат Эльшольца и Тао делает доказательство этого типа менее вероятным.^[10] Доказательство оценки Эльсгольца и Тао на число решений включает Теорема Бомбьери – Виноградова., то Теорема Бруна – Титчмарша., и система модульных тождеств, действительная, когда п конгруэнтно -c или −1 /c по модулю 4ab, куда а и б любые два совмещать положительные целые числа и c любой нечетный фактор а + б. Например, установка а = б = 1 дает одно из тождеств Морделла, справедливое, когда п равно 3 (мод. 4).

Решения с отрицательными числами

Ограничение, что Икс, у, и z быть положительным существенно для трудности проблемы, поскольку, если бы были разрешены отрицательные значения, проблема могла бы быть тривиально решена с помощью одного из двух тождеств

{ displaystyle { frac {4} {4k + 1}} = { frac {1} {k}} - { frac {1} {k (4k + 1)}} = { frac {1} { 2k}} + { frac {1} {2k}} - { frac {1} {k (4k + 1)}}}

и

{ displaystyle { frac {4} {4k-1}} = { frac {1} {k}} + { frac {1} {k (4k-1)}} = { frac {1} { 2k}} + { frac {1} {2k}} + { frac {1} {k (4k-1)}}.}.}

В качестве альтернативы для любого нечетного п, возможно трехчленное решение с одним отрицательным членом:^[11]

{ displaystyle { frac {4} {n}} = { frac {1} {(n-1) / 2}} + { frac {1} {(n + 1) / 2}} - { гидроразрыв {1} {n (n-1) (n + 1) / 4}}.}

Обобщения

Обобщенная версия гипотезы утверждает, что для любого положительного k существует номер N такое, что для всех п ≥ N, существует решение в натуральных числах k/п = 1/Икс + 1/у + 1/z. Версия этой гипотезы для k = 5 был сделан Вацлав Серпинский, а полная гипотеза связана с Анджей Шинцель.^[12]

Даже если обобщенная гипотеза неверна для любого фиксированного значения k, то количество дробей k/п с п в диапазоне от 1 до N которые не имеют трехчленных расширений, должны расти только сублинейно как функция N.^[8] В частности, если сама гипотеза Эрдеша – Штрауса (случай k = 4) ложно, то количество контрпримеров растет только сублинейно. Более того, для любых фиксированных k, только сублинейное количество значений п нужно более двух членов в их расширениях египетской дроби.^[13] Обобщенная версия гипотезы эквивалентна утверждению, что количество нерасширяемых дробей не просто сублинейно, но и ограничено.

Когда п является нечетное число, по аналогии с проблемой странные жадные расширения для египетских фракций можно попросить решения k/п = 1/Икс + 1/у + 1/z в котором Икс, у, и z - различные положительные нечетные числа. Известно, что решения этого уравнения всегда существуют для случая, когда k = 3.^[14]

Смотрите также

Список сумм обратных величин

Примечания

^ См., Например, Эльшольц (2001). Однако обратите внимание, что самая ранняя опубликованная ссылка на него выглядит так: Эрдёш (1950).
^ Морделл (1967).
^ ^а ^б Салез (2014).
^ Эппштейн (1995), раздел разрешения конфликтов.
^ Увидеть Решение конфликта раздел Эппштейн (1995) для доказательства того, что тесно связанный процесс замены (с другим расширением для четных знаменателей, уменьшающим количество дробей) всегда заканчивается неповторяющимся расширением.
^ Эппштейн (1995).
^ См. Например Сандер (1994) для более простой диофантовой формулировки с использованием более конкретных предположений о том, какое из Икс, у, и z делятся на п.
^ ^а ^б Уэбб (1970); Воан (1970); Ли (1981); Ян (1982); Ахмади и Блейхер (1998); Эльшольц (2001).
^ Облат (1950); Росати (1954); Поцелуй (1959); Бернштейн (1962); Ямамото (1965); Терзи (1971); Йолленстен (1976); Котсирес (1999).
^ По количеству решений $4/ п = 1/ п 1 + 1/ п 2 + 1/ п 3$ , Теренс Тао, «Что нового», 7 июля 2011 г.
^ Ярома (2004).
^ Серпинский (1956); Воан (1970).
^ Хофмайстер и Штолл (1985).
^ Шинцель (1956); Сурьянараяна и Рао (1965); Хагедорн (2000).

внешняя ссылка

[1] См., Например, Эльшольц (2001). Однако обратите внимание, что самая ранняя опубликованная ссылка на него выглядит так: Эрдёш (1950).

[2] Морделл (1967).

[FOOTNOTESalez2014-3] а ^б Салез (2014).

[4] Эппштейн (1995), раздел разрешения конфликтов.

[5] Увидеть Решение конфликта раздел Эппштейн (1995) для доказательства того, что тесно связанный процесс замены (с другим расширением для четных знаменателей, уменьшающим количество дробей) всегда заканчивается неповторяющимся расширением.

[6] Эппштейн (1995).

[7] См. Например Сандер (1994) для более простой диофантовой формулировки с использованием более конкретных предположений о том, какое из Икс, у, и z делятся на п.

[sparse-8] а ^б Уэбб (1970); Воан (1970); Ли (1981); Ян (1982); Ахмади и Блейхер (1998); Эльшольц (2001).

[9] Облат (1950); Росати (1954); Поцелуй (1959); Бернштейн (1962); Ямамото (1965); Терзи (1971); Йолленстен (1976); Котсирес (1999).

[10] По количеству решений $4/ п = 1/ п 1 + 1/ п 2 + 1/ п 3$ , Теренс Тао, «Что нового», 7 июля 2011 г.

[11] Ярома (2004).

[12] Серпинский (1956); Воан (1970).

[13] Хофмайстер и Штолл (1985).

[14] Шинцель (1956); Сурьянараяна и Рао (1965); Хагедорн (2000).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]