Принцип Хассе - Википедия - Hasse principle

В математика, Хельмут Хассе с локально-глобальный принцип, также известный как Принцип Хассе, идея, что можно найти целочисленное решение уравнения используя Китайская теорема об остатках собрать воедино решения по модулю силы каждого из простое число. Это делается путем изучения уравнения в завершение из рациональное число: the действительные числа и п-адические числа. Более формальная версия принципа Хассе гласит, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение. если и только если у них есть решение в действительные числа и в п-адические числа для каждого простого числа п.

Интуиция

Для данного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, если оно имеет рациональное решение, оно также дает действительное решение и п-адическое решение, поскольку рациональные числа встраиваются в действительные и п-adics: глобальное решение дает локальные решения для каждого простого числа. Принцип Хассе спрашивает, когда можно сделать обратное, или, скорее, спрашивает, в чем состоит препятствие: когда вы можете склеить решения по реальным и п-adics, чтобы дать решение вместо рациональных: когда можно объединить локальные решения, чтобы сформировать глобальное решение?

Это можно задать и для других колец или полей: например, целых чисел или числовые поля. Для числовых полей, а не вещественных чисел и п-adics, используются сложные вложения и -adics, для главные идеалы .

Формы, представляющие 0

Квадратичные формы

В Теорема Хассе – Минковского утверждает, что локально-глобальный принцип справедлив для проблемы представляющий 0 к квадратичные формы над рациональное число (который Минковский результат); и вообще по любому числовое поле (как доказал Хассе), когда используются все подходящие местное поле необходимые условия. Теорема Хассе о циклических расширениях утверждает, что принцип локально-глобальный применяется к условию относительной нормы для циклического расширения числовых полей.

Кубические формы

Контрпример Эрнст С. Зельмер показывает, что теорему Хассе – Минковского нельзя распространить на формы степени 3: кубическое уравнение 3Икс3 + 4у3 + 5z3 = 0 имеет решение в действительных числах и во всех p-адических полях, но не имеет нетривиального решения, в котором Икс, у, и z все рациональные числа.[1]

Роджер Хит-Браун показал[2] что каждая кубическая форма над целыми числами по крайней мере в 14 переменных представляет 0, улучшая предыдущие результаты Давенпорт.[3] Поскольку каждая кубическая форма над p-адическими числами с не менее чем десятью переменными представляет 0,[2] локально-глобальный принцип тривиально выполняется для кубических форм над рациональными числами по крайней мере от 14 переменных.

Ограничиваясь неособыми формами, можно добиться большего успеха, чем это: Хит-Браун доказал, что каждая неособая кубическая форма над рациональными числами по крайней мере от 10 переменных представляет 0,[4] тем самым тривиально устанавливая принцип Хассе для этого класса форм. Известно, что результат Хита-Брауна является наилучшим в том смысле, что существуют неособые кубические формы над рациональными числами от 9 переменных, которые не представляют ноль.[5] Тем не мение, Хули показал, что принцип Хассе верен для представления 0 неособыми кубическими формами над рациональными числами не менее чем от девяти переменных.[6] Давенпорт, Хит-Браун и Хули использовали Метод круга Харди – Литтлвуда в своих доказательствах. По идее Манин, препятствия принципу Хассе для кубических форм можно связать с теорией Группа Брауэра; это Обструкция Брауэра – Манина, что полностью объясняет несостоятельность принципа Хассе для некоторых классов разнообразия. Тем не мение, Скоробогатов показал, что препятствие Брауэра – Манина не может объяснить всех неудач принципа Хассе.[7]

Бланки высшей степени

Контрпримеры Fujiwara и Судо показать, что теорема Хассе – Минковского не распространяется на формы степени 10.п + 5, где п - целое неотрицательное число.[8]

С другой стороны, Теорема Берча показывает, что если d - любое нечетное натуральное число, то существует число N(d) такая, что любая форма степени d в более чем N(d) переменных представляет 0: принцип Хассе тривиально выполняется.

Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер

В Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер устанавливает локально-глобальный принцип расщепления центральная простая алгебра А над полем алгебраических чисел K. В нем говорится, что если А разбивается по каждому завершение Kv то он изоморфен матричная алгебра над K.

Принцип Хассе для алгебраических групп

Принцип Хассе для алгебраических групп утверждает, что если грамм односвязная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем k затем карта из

является инъективным, когда продукт находится во всех местах s из k.

Принцип Хассе для ортогональных групп тесно связан с принципом Хассе для соответствующих квадратичных форм.

Кнезер (1966) и несколько других проверяли принцип Хассе индивидуальными доказательствами для каждой группы. Последним случаем была группа E8 который был завершен только Черноусов (1989) много лет спустя после других случаев.

Принцип Хассе для алгебраических групп использовался при доказательстве Гипотеза Вейля для чисел Тамагавы и сильная аппроксимационная теорема.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Эрнст С. Зельмер (1951). "Диофантово уравнение топор3 + к3 + cz3 = 0". Acta Mathematica. 85: 203–362. Дои:10.1007 / BF02395746.
  2. ^ а б D.R. Хит-Браун (2007). «Кубические формы от 14 переменных». Изобретать. Математика. 170 (1): 199–230. Bibcode:2007InMat.170..199H. Дои:10.1007 / s00222-007-0062-1.
  3. ^ Х. Давенпорт (1963). «Кубические формы от шестнадцати переменных». Труды Королевского общества А. 272 (1350): 285–303. Bibcode:1963RSPSA.272..285D. Дои:10.1098 / rspa.1963.0054.
  4. ^ Д. Р. Хит-Браун (1983). «Кубические формы от десяти переменных». Труды Лондонского математического общества. 47 (2): 225–257. Дои:10.1112 / плмс / с3-47.2.225.
  5. ^ Л. Дж. Морделл (1937). «Замечание о неопределенных уравнениях многих переменных». Журнал Лондонского математического общества. 12 (2): 127–129. Дои:10.1112 / jlms / s1-12.1.127.
  6. ^ К. Хули (1988). «О неарных кубических формах». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 386: 32–98.
  7. ^ Алексей Николаевич Скоробогатов (1999). «За преградой Манина». Изобретать. Математика. 135 (2): 399–424. arXiv:alg-geom / 9711006. Bibcode:1999InMat.135..399S. Дои:10.1007 / s002220050291.
  8. ^ М. Фудзивара; М. Судо (1976). «Некоторые формы нечетной степени, для которых принцип Хассе не работает». Тихоокеанский математический журнал. 67 (1): 161–169. Дои:10.2140 / pjm.1976.67.161.

Рекомендации

внешняя ссылка