Теорема Берча - Википедия - Birchs theorem

В математика, Теорема Берча,^[1] назван в честь Брайан Джон Берч, является утверждением о представимости нуля формами нечетной степени.

Утверждение теоремы Берча.

Позволять K быть поле алгебраических чисел, k, л и п быть натуральными числами, р₁, . . . ,р_k быть нечетными натуральными числами и ж₁, . . . ,ж_k быть однородные многочлены с коэффициентами в K степеней р₁, . . . ,р_k соответственно в п переменных, то существует число ψ (р₁, . . . ,р_k,л,K) такие, что

${ Displaystyle п geq psi (r_ {1}, ldots, r_ {k}, l, K)}$

означает, что существует л-мерное векторное подпространство V из K^п такой, что

${ displaystyle f_ {1} (x) = cdots = f_ {k} (x) = 0, quad forall x in V.}$

Замечания

Доказательство теоремы проводится индукция по максимальной степени форм ж₁, . . . ,ж_k. Существенным для доказательства является частный случай, который может быть доказан применением Метод круга Харди – Литтлвуда, теоремы о том, что если п достаточно большой и р нечетно, то уравнение

${ displaystyle c_ {1} x_ {1} ^ {r} + cdots + c_ {n} x_ {n} ^ {r} = 0, quad c_ {i} in mathbb {Z}, i = 1, ldots, n}$

имеет решение в целых числах Икс₁, . . . ,Икс_п, не все из которых равны 0.

Ограничение на нечетное р необходимо, так как формы четной степени, такие как положительно определенные квадратичные формы, может принимать значение 0 только в начале координат.

Рекомендации