Нестандартная модель арифметики - Non-standard model of arithmetic

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Нестандартная модель арифметики»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математическая логика, а нестандартная модель арифметики модель (первого порядка) Арифметика Пеано который содержит нестандартные числа. Период, термин стандартная модель арифметики относится к стандартным натуральным числам 0, 1, 2,…. Элементы любой модели арифметики Пеано линейно упорядочены и обладают начальный сегмент изоморфный к стандартным натуральным числам. Нестандартная модель - это модель, у которой есть дополнительные элементы за пределами этого начального сегмента. Строительство таких моделей связано с Торальф Сколем (1934).

Существование

Существует несколько методов, с помощью которых можно доказать наличие нестандартных моделей арифметики.

Из теоремы компактности

Существование нестандартных моделей арифметики может быть продемонстрировано применением теорема компактности. Для этого набор аксиом P * определяется на языке, включающем язык арифметики Пеано, вместе с новым постоянным символом Икс. Аксиомы состоят из аксиом арифметики Пеано P вместе с другим бесконечным набором аксиом: для каждого числа паксиома Икс > п Включено. Любое конечное подмножество этих аксиом удовлетворяется моделью, которая представляет собой стандартную модель арифметики плюс константа Икс интерпретируется как некоторое число больше любого числа, упомянутого в конечном подмножестве P *. Таким образом, по теореме компактности существует модель, удовлетворяющая всем аксиомам P *. Поскольку любая модель P * является моделью P (поскольку модель набора аксиом, очевидно, также является моделью любого подмножества этого набора аксиом), мы имеем, что наша расширенная модель также является моделью аксиом Пеано. Элемент этой модели, соответствующий Икс не может быть стандартным числом, потому что, как указано, оно больше любого стандартного числа.

Используя более сложные методы, можно строить нестандартные модели, обладающие более сложными свойствами. Например, есть модели арифметики Пеано, в которых Теорема Гудштейна терпит неудачу. Это можно доказать в Теория множеств Цермело – Френкеля что теорема Гудстейна верна в стандартной модели, поэтому модель, в которой теорема Гудстейна не работает, должна быть нестандартной.

Из теорем о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте также подразумевают существование нестандартных моделей арифметики. теоремы о неполноте показывают, что конкретное предложение граммпредложение Гёделя в арифметике Пеано не доказуемо или не опровергается в арифметике Пеано. Посредством теорема полноты, это означает, что грамм ложно в некоторой модели арифметики Пеано. Тем не мение, грамм верно в стандартной модели арифметики и, следовательно, в любой модели, в которой грамм ложно, должна быть нестандартная модель. Таким образом, выполнение ~ G является достаточным условием нестандартности модели. Однако это не обязательное условие; для любого предложения Гёделя грамм, существуют модели арифметики с грамм верно для всех мощностей.

Арифметическая несостоятельность для моделей с ~грамм истинный

Предполагая, что арифметика согласована, арифметика с ~грамм также последовательна. Однако, поскольку ~грамм означает, что арифметика непоследовательна, результат не будет ω-согласованный (потому что ~грамм ложно, и это нарушает ω-согласованность).

Из ультрапродукта

Другой метод построения нестандартной модели арифметики - использование сверхпродукт. Типичная конструкция использует набор всех последовательностей натуральных чисел, ${displaystyle mathbb {N} ^ {mathbb {N}}}$. Определите две последовательности, если они почти везде совпадают. Результирующий полукольцо нестандартная модель арифметики. Его можно отождествить с сверхъестественный числа.^[1]

Структура счетных нестандартных моделей

В сверхпродукт моделей бесчисленное множество. Один из способов увидеть это - построить инъекцию бесконечного произведения N в ультрапродукт. Однако по Теорема Лёвенгейма – Сколема должны существовать счетные нестандартные модели арифметики. Один из способов определить такую ​​модель - использовать Семантика Хенкина.

Любой счетный нестандартная модель арифметики имеет тип заказа ω + (ω * + ω) ⋅ η, где ω - порядковый тип стандартных натуральных чисел, ω * - двойственный порядок (бесконечная убывающая последовательность), а η - порядковый тип рациональных чисел. Другими словами, счетная нестандартная модель начинается с бесконечной возрастающей последовательности (стандартных элементов модели). Далее следует набор «блоков», каждый из которых имеет тип заказа. ω * + ω, тип порядка целых чисел. Эти блоки, в свою очередь, плотно упорядочены по типу порядка рациональных чисел. Результат следует довольно легко, потому что легко видеть, что блоки нестандартных чисел должны быть плотными и линейно упорядоченными без конечных точек, и порядковый тип рациональных чисел - единственный счетный плотный линейный порядок без конечных точек.^[2][3][4]

Итак, вид заказа счетных нестандартных моделей известен. Однако арифметические операции намного сложнее.

Нетрудно заметить, что арифметическая структура отличается от ω + (ω * + ω) ⋅ η. Например, если нестандартный (не конечный) элемент ты есть в модели, значит, тоже м ⋅ ты для любого м, п в начальном сегменте N, но ты² больше чем м ⋅ ты для любого стандартного конечного м.

Также можно определить "квадратные корни", такие как наименьшее v такой, что v² > 2 ⋅ ты. Они не могут быть в пределах стандартного конечного числа любого рационального кратного ты. Аналогичными методами нестандартный анализ можно также использовать PA для определения близких приближений к иррациональным кратным нестандартного числа ты как минимум v с v > π ⋅ ты (их можно определить в PA с помощью нестандартных конечных рациональные приближения π хотя сам пи не может быть). Еще раз, v − (м/п) ⋅ (ты/п) должно быть больше любого стандартного конечного числа для любого стандартного конечного м, п.^{[нужна цитата ]}

Это показывает, что арифметическая структура счетной нестандартной модели более сложна, чем структура рациональных чисел. Но это еще не все.

Теорема Тенненбаума показывает, что для любой счетной нестандартной модели арифметики Пеано нет способа закодировать элементы модели как (стандартные) натуральные числа, чтобы операция сложения или умножения модели была вычислимый по кодам. Этот результат был впервые получен Стэнли Тенненбаумом в 1959 году.

Рекомендации

Цитаты

Источники