Теорема Гудштейна - Википедия - Goodsteins theorem

В математическая логика, Теорема Гудштейна это заявление о натуральные числа, доказано Рубен Гудштейн в 1944 г., где говорится, что каждый Последовательность Гудштейна в конце концов заканчивается на 0. Кирби и Пэрис^[1] показал, что это недоказуемо в Арифметика Пеано (но это может быть доказано в более сильных системах, таких как арифметика второго порядка ). Это был третий пример истинного утверждения, недоказуемого в арифметике Пеано, после Теорема Гёделя о неполноте и Герхард Гентцен прямое доказательство недоказуемости ε в 1943 г.₀-индукция по арифметике Пеано. В Теорема Пэрис – Харрингтона был более поздним примером.

Лоуренс Кирби и Джефф Пэрис представил теоретико-графовую гидра игра с поведением, аналогичным последовательностям Гудштейна: «Гидра» (названная в честь мифологического многоголового Гидра Лерны ) является деревом с корнями, и ход состоит в отсечении одной из его «голов» (ветви дерева), на что гидра отвечает, вырастая конечное число новых голов по определенным правилам. Кирби и Пэрис доказали, что Гидра в конечном итоге будет убита, независимо от стратегии, которую Геракл использует, чтобы отрубить ей головы, хотя это может занять очень много времени. Как и в случае с последовательностями Гудштейна, Кирби и Пэрис показали, что это не может быть доказано одной арифметикой Пеано.^[1]

Наследственная база-п обозначение

Последовательности Гудстейна определяются в терминах концепции, называемой "наследственная основа".п обозначение ». Эти обозначения очень похожи на обычныеп позиционные обозначения, но обычных обозначений недостаточно для целей теоремы Гудстейна.

В обычной базе-п обозначение, где п натуральное число больше 1, произвольное натуральное число м записывается как сумма кратных степеней п:

{ displaystyle m = a_ {k} n ^ {k} + a_ {k-1} n ^ {k-1} + cdots + a_ {0},}

где каждый коэффициент а_я удовлетворяет 0 ≤ а_я < п, и а_k ≠ 0. Например, в базе 2

{ displaystyle 35 = 32 + 2 + 1 = 2 ^ {5} + 2 ^ {1} + 2 ^ {0}.}

Таким образом, представление 35 по основанию 2 равно 100011, что означает 2⁵ + 2 + 1. Точно так же 100, представленное в базе-3, равно 10201:

{ displaystyle 100 = 81 + 18 + 1 = 3 ^ {4} +2 cdot 3 ^ {2} + 3 ^ {0}.}

Обратите внимание, что сами показатели не записываются в базовом формате.п обозначение. Например, приведенные выше выражения включают 2⁵ и 3⁴и 5> 2, 4> 3.

Чтобы преобразовать базу-п представительство на наследственной основеп обозначение, сначала перепишите все экспоненты в базе-п обозначение. Затем перепишите все показатели внутри показателей и продолжайте таким образом до тех пор, пока каждое число, появляющееся в выражении (кроме самих оснований), не будет преобразовано в основание.п обозначение.

Например, в то время как 35 в обычной записи с основанием 2 это 2⁵ + 2 + 1, он записывается в наследственных обозначениях с основанием 2 как

{ displaystyle 35 = 2 ^ {2 ^ {2 ^ {1}} + 1} + 2 ^ {1} +1,}

используя тот факт, что 5 = 2² + 1. Точно так же 100 в наследственной системе счисления с основанием 3 равно

{ displaystyle 100 = 3 ^ {3 ^ {1} +1} +2 cdot 3 ^ {2} +1.}

Последовательности Гудштейна

В Последовательность Гудштейна грамм(м) числа м представляет собой последовательность натуральных чисел. Первый элемент в последовательности грамм(м) является м сам. Чтобы получить второй, грамм(м) (2) запишите м в наследственной системе счисления с основанием 2 замените все двойки на тройки, а затем вычтите 1 из результата. В целом (п + 1) -й срок грамм(м)(п + 1) последовательности Гудштейна м как следует:

Возьмите наследственную основу -п + 1 представление грамм(м)(п).
Замените каждое вхождение основания-п + 1 с п + 2.
Вычтите один. (Обратите внимание, что следующий член зависит как от предыдущего члена, так и от индекса п.)
Продолжайте до тех пор, пока результат не станет нулевым, после чего последовательность завершится.

Ранние последовательности Гудштейна быстро обрываются. Например, грамм(3) заканчивается на 6-м шаге:

Основание	Наследственные обозначения	Ценить	Примечания
2	${ displaystyle 2 ^ {1} +1}$	3	Запишите 3 в системе счисления с основанием 2
3	${ displaystyle 3 ^ {1} + 1-1 = 3 ^ {1}}$	3	Измените 2 на 3, затем вычтите 1
4	${ displaystyle 4 ^ {1} -1 = 3}$	3	Измените 3 на 4, затем вычтите 1. Теперь четверок больше не осталось.
5	${ displaystyle 3-1 = 2}$	2	Не осталось 4 с, чтобы переключиться на 5 с. Просто вычтите 1
6	${ displaystyle 2-1 = 1}$	1	Нет 5 секунд, чтобы переключиться на 6 секунд. Просто вычтите 1
7	${ displaystyle 1-1 = 0}$	0	Не осталось 6 секунд, чтобы переключиться на 7. Просто вычтите 1

Позже последовательности Гудштейна увеличиваются на очень большое количество шагов. Например, грамм(4) OEIS: A056193 начинается следующим образом:

Основание	Наследственные обозначения	Ценить
2	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {1}}}$	4
3	${ Displaystyle 3 ^ {3 ^ {1}} - 1 = 2 cdot 3 ^ {2} +2 cdot 3 + 2}$	26
4	${ Displaystyle 2 cdot 4 ^ {2} +2 cdot 4 + 1}$	41
5	${ Displaystyle 2 cdot 5 ^ {2} +2 cdot 5}$	60
6	${ Displaystyle 2 cdot 6 ^ {2} +2 cdot 6-1 = 2 cdot 6 ^ {2} + 6 + 5}$	83
7	${ Displaystyle 2 cdot 7 ^ {2} + 7 + 4}$	109
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
11	${ Displaystyle 2 cdot 11 ^ {2} +11}$	253
12	${ Displaystyle 2 cdot 12 ^ {2} + 12-1 = 2 cdot 12 ^ {2} +11}$	299
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
24	${ Displaystyle 2 cdot 24 ^ {2} -1 = 24 ^ {2} +23 cdot 24 + 23}$	1151
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
${ Displaystyle В = 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209} -1}$	${ displaystyle 2 cdot B ^ {1}}$	${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 210} -2}$
${ Displaystyle В = 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209}}$	${ Displaystyle 2 cdot B ^ {1} -1 = B ^ {1} + (B-1)}$	${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 210} -1}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$

Элементы грамм(4) некоторое время продолжают увеличиваться, но на основании ${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209}}$ , они достигают максимума ${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 210} -1}$ , оставайся там до следующего ${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 209}}$ шагов, а затем начните свой первый спуск.

Значение 0 достигается на базе ${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 211} -1}$ . (Любопытно, что это Номер Вудалла: ${ Displaystyle 3 cdot 2 ^ {402 , 653 , 211} -1 = 402 , 653 , 184 cdot 2 ^ {402 , 653 , 184} -1}$ . То же самое и со всеми другими окончательными базами для начальных значений больше 4.^{[нужна цитата ]})

Однако даже грамм(4) не дает представления о том, как быстро элементы последовательности Гудштейна могут увеличиваться.грамм(19) возрастает гораздо быстрее и начинается следующим образом:

Наследственные обозначения	Ценить
${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} + 2 + 1}$	19
${ displaystyle 3 ^ {3 ^ {3}} + 3}$	7625597484990
${ displaystyle 4 ^ {4 ^ {4}} + 3}$	${ displaystyle примерно в 1,3 раза 10 ^ {154}}$
${ displaystyle 5 ^ {5 ^ {5}} + 2}$	${ Displaystyle примерно 1,8 раз 10 ^ {2 , 184}}$
${ displaystyle 6 ^ {6 ^ {6}} + 1}$	${ Displaystyle примерно 2,6 раз 10 ^ {36 , 305}}$
${ displaystyle 7 ^ {7 ^ {7}}}$	${ displaystyle примерно 3,8 times 10 ^ {695 , 974}}$
${ displaystyle 8 ^ {8 ^ {8}} - 1 = 7 cdot 8 ^ {7 cdot 8 ^ {7} +7 cdot 8 ^ {6} +7 cdot 8 ^ {5} +7 cdot 8 ^ {4} +7 cdot 8 ^ {3} +7 cdot 8 ^ {2} +7 cdot 8 + 7}}$ ${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {7 cdot 8 ^ {7} +7 cdot 8 ^ {6} +7 cdot 8 ^ {5} +7 cdot 8 ^ {4} +7 cdot 8 ^ {3} +7 cdot 8 ^ {2} +7 cdot 8 + 6} + cdots}$ ${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {8 + 2} +7 cdot 8 ^ {8 + 1} +7 cdot 8 ^ {8}}$ ${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {7} +7 cdot 8 ^ {6} +7 cdot 8 ^ {5} +7 cdot 8 ^ {4}}$ ${ displaystyle +7 cdot 8 ^ {3} +7 cdot 8 ^ {2} +7 cdot 8 + 7}$	${ Displaystyle примерно 6 раз 10 ^ {15 , 151 , 335}}$
${ displaystyle 7 cdot 9 ^ {7 cdot 9 ^ {7} +7 cdot 9 ^ {6} +7 cdot 9 ^ {5} +7 cdot 9 ^ {4} +7 cdot 9 ^ {3} +7 cdot 9 ^ {2} +7 cdot 9 + 7}}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {7 cdot 9 ^ {7} +7 cdot 9 ^ {6} +7 cdot 9 ^ {5} +7 cdot 9 ^ {4} +7 cdot 9 ^ {3} +7 cdot 9 ^ {2} +7 cdot 9 + 6} + cdots}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {9 + 2} +7 cdot 9 ^ {9 + 1} +7 cdot 9 ^ {9}}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {7} +7 cdot 9 ^ {6} +7 cdot 9 ^ {5} +7 cdot 9 ^ {4}}$ ${ displaystyle +7 cdot 9 ^ {3} +7 cdot 9 ^ {2} +7 cdot 9 + 6}$	${ Displaystyle примерно 4,3 раз 10 ^ {369 , 693 , 099}}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$

Несмотря на такой быстрый рост, теорема Гудстейна утверждает, что каждая последовательность Гудштейна в конечном итоге заканчивается на 0, независимо от начального значения.

Доказательство теоремы Гудштейна

Теорема Гудстейна может быть доказана (с использованием методов, выходящих за рамки арифметики Пеано, см. Ниже) следующим образом: дана последовательность Гудстейна грамм(м) построим параллельную последовательность п(м) из порядковые номера который строго убывает и заканчивается. потом грамм(м) также должен завершиться, и он может прекратиться только тогда, когда он перейдет в 0. Распространенное заблуждение этого доказательства - верить, что грамм(м) переходит в 0 потому что в нем преобладают п(м). Собственно то, что п(м) доминирует грамм(м) не играет никакой роли. Важный момент: грамм(м)(k) существует тогда и только тогда, когда п(м)(k) существует (параллелизм). Тогда если п(м) завершается, так же как и грамм(м). И грамм(м) может завершиться только тогда, когда доходит до 0.

Определим функцию ${ Displaystyle е = е (и, к)}$ который вычисляет наследственную базу k представление ты а затем заменяет каждое вхождение основания k с первым бесконечным порядковый номер ω. Например, ${ Displaystyle е (100,3) = е (3 ^ {3 ^ {1} +1} +2 cdot 3 ^ {2} +1,3) = omega ^ { omega ^ {1} +1 } +2 omega ^ {2} + 1 = omega ^ { omega +1} +2 omega ^ {2} +1}$ .

Каждый термин п(м)(п) последовательности п(м) тогда определяется как ж(грамм(м)(п),п + 1). Например, грамм(3)(1) = 3 = 2¹ + 2⁰ и п(3)(1) = ж(2¹ + 2⁰, 2) = ω¹ + ω⁰ = ω + 1. Сложение, умножение и возведение порядковых чисел в степень хорошо определены.

Мы утверждаем, что ${ Displaystyle е (г (т) (п), п + 1)> е (г (т) (п + 1), п + 2)}$ :

Позволять ${ Displaystyle G '(м) (п)}$ быть грамм(м)(п) после применения первого, изменение базы операция по генерации следующего элемента последовательности Гудштейна, но перед вторым минус 1 работа в этом поколении. Заметьте, что ${ Displaystyle G (m) (n + 1) = G '(m) (n) -1}$ .

Тогда ясно, ${ Displaystyle е (г (т) (п), п + 1) = е (г '(т) (п), п + 2)}$ . Теперь применим минус 1 операция, и ${ Displaystyle f (G '(m) (n), n + 2)> f (G (m) (n + 1), n + 2)}$ , так как ${ Displaystyle G '(м) (п) = Г (т) (п + 1) +1}$ .Например, ${ Displaystyle G (4) (1) = 2 ^ {2}}$ и ${ Displaystyle G (4) (2) = 2 cdot 3 ^ {2} +2 cdot 3 + 2}$ , так ${ displaystyle f (2 ^ {2}, 2) = omega ^ { omega}}$ и ${ Displaystyle е (2 cdot 3 ^ {2} +2 cdot 3 + 2,3) = 2 omega ^ {2} +2 omega +2}$ , что строго меньше. Обратите внимание, что для расчета f (G (m) (n), n + 1), нам сначала нужно написать грамм(м)(п) в наследственной базе п+1 обозначение, как, например, выражение ${ displaystyle omega ^ { omega} -1}$ либо не имеет смысла, либо равно ${ displaystyle omega ^ { omega}}$ .

Таким образом, последовательность п(м) строго убывает. Поскольку стандартный порядок <порядковых номеров равен обоснованный, бесконечная строго убывающая последовательность не может существовать, или, что то же самое, любая строго убывающая последовательность порядковых номеров завершается (и не может быть бесконечной). Но п(м)(п) рассчитывается непосредственно из грамм(м)(п). Следовательно, последовательность грамм(м) также должен завершиться, что означает, что он должен достичь 0.

Хотя это доказательство теоремы Гудстейна довольно просто, Теорема Кирби – Пэрис,^[1] который показывает, что теорема Гудстейна не является теоремой арифметики Пеано, является технической и значительно более сложной. Он использует счетные нестандартные модели арифметики Пеано.

Расширенная теорема Гудштейна

Предположим, что определение последовательности Гудштейна изменено так, что вместо замены каждого вхождения основания б с б+1он заменяет его б+2. Будет ли последовательность завершаться? В общем, пусть б₁, б₂, б₃, ... быть любыми последовательностями целых чисел. Тогда пусть п+ 1-йсрок грамм(м)(п+1) расширенной последовательности Гудштейна м быть следующим образом: взять наследственную основу б_п представлениеграмм(м)(п) и замените каждое вхождение основания б_пс б_п+1 а затем вычтите единицу. Утверждение состоит в том, что эта последовательность все еще завершается. п(м)(п) = ж(грамм(м)(п), п) как следует: взять наследственную основу б_п представлениеграмм(м)(п) и замените каждое вхождение основанияб_п с первым бесконечным порядковый номер ω. изменение базы работа последовательности Гудштейна при выходе из грамм(м)(п) к грамм(м)(п+1) по-прежнему не меняет значение ж.Например, если б_п = 4 и если б_п+1 = 9,тогда ${ Displaystyle f (3 cdot 4 ^ {4 ^ {4}} + 4,4) = 3 omega ^ { omega ^ { omega}} + omega = f (3 cdot 9 ^ {9 ^ {9}} + 9,9)}$ , следовательно, порядковый ${ displaystyle f (3 cdot 4 ^ {4 ^ {4}} + 4,4)}$ строго больше порядкового ${ displaystyle f ((3 cdot 9 ^ {9 ^ {9}} + 9) -1,9).}$

Длина последовательности как функция от начального значения

В Функция Гудштейна, ${ Displaystyle { mathcal {G}}: mathbb {N} to mathbb {N}}$ , определяется так, что ${ Displaystyle { mathcal {G}} (п)}$ - длина последовательности Гудштейна, которая начинается с п. (Это общая функция поскольку каждая последовательность Гудштейна обрывается.) Чрезвычайная скорость роста ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ можно откалибровать, связав его с различными стандартными иерархиями функций, индексируемыми по порядковому номеру, такими как функции ${ displaystyle H _ { alpha}}$ в Харди иерархия, а функции ${ displaystyle f _ { alpha}}$ в быстрорастущая иерархия Лёба и Вайнера:

Кирби и Пэрис (1982) доказали, что

{ Displaystyle { mathcal {G}}}

имеет примерно такую же скорость роста, как

{ displaystyle H _ { epsilon _ {0}}}

(что такое же, как у

{ displaystyle f _ { epsilon _ {0}}}

); точнее,

{ Displaystyle { mathcal {G}}}

доминирует

{ displaystyle H _ { alpha}}

для каждого

{ Displaystyle альфа < epsilon _ {0}}

, и

{ displaystyle H _ { epsilon _ {0}}}

доминирует

{ Displaystyle { mathcal {G}} , !}

(Для любых двух функций

{ displaystyle f, g: mathbb {N} to mathbb {N}}

,

{ displaystyle f}

говорят доминировать

{ displaystyle g}

если

{ Displaystyle f (п)> г (п)}

для всех достаточно больших

{ displaystyle n}

.)

Cichon (1983) показал, что

{ Displaystyle { mathcal {G}} (п) = H_ {R_ {2} ^ { omega} (n + 1)} (1) -1,}

куда

{ Displaystyle R_ {2} ^ { omega} (п)}

это результат помещения п в наследственной системе обозначений с основанием 2, а затем заменив все 2 на ω (как это было сделано при доказательстве теоремы Гудстейна).

Caicedo (2007) показал, что если ${ Displaystyle п = 2 ^ {m_ {1}} + 2 ^ {m_ {2}} + cdots + 2 ^ {m_ {k}}}$ с ${ displaystyle m_ {1}> m_ {2}> cdots> m_ {k},}$ тогда

{ Displaystyle { mathcal {G}} (п) = е_ {R_ {2} ^ { omega} (m_ {1})} (е_ {R_ {2} ^ { omega} (m_ {2}) } ( cdots (f_ {R_ {2} ^ { omega} (m_ {k})} (3)) cdots)) - 2}

.

Некоторые примеры:

п			${ Displaystyle { mathcal {G}} (п)}$
1	${ displaystyle 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2-1}$	${ displaystyle H _ { omega} (1) -1}$	${ displaystyle f_ {0} (3) -2}$	2
2	${ displaystyle 2 ^ {1}}$	${ displaystyle 2 ^ {1} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega +1} (1) -1}$	${ displaystyle f_ {1} (3) -2}$	4
3	${ displaystyle 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} -1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega}} (1) -1}$	${ displaystyle f_ {1} (f_ {0} (3)) - 2}$	6
4	${ displaystyle 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega} +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (3) -2}$	3·2^402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10^121210694
5	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega} + omega} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (f_ {0} (3)) - 2}$	> А (4,4)> ${ displaystyle {10 ^ {10 ^ {10 ^ {19728}}}}}$
6	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 ^ {1}}$	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega} + omega +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (f_ {1} (3)) - 2}$	> А(6,6)
7	${ displaystyle 2 ^ {2} + 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} -1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega +1}} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega} (f_ {1} (f_ {0} (3))) - 2}$	> А(8,8)
8	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega +1} +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega +1} (3) -2}$	> А³(3,3) = А(А(61, 61), А(61, 61))
${ displaystyle vdots}$
12	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} + 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 + 1} + 2 ^ {2} + 1-1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega +1} + omega ^ { omega} +1} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega +1} (f _ { omega} (3)) - 2}$	> ж_{ω + 1}(64) > Число Грэма
${ displaystyle vdots}$
19	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} + 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {2}} + 2 ^ {2} -1}$	${ displaystyle H _ { omega ^ { omega ^ { omega}} + omega ^ { omega}} (1) -1}$	${ displaystyle f _ { omega ^ { omega}} (f_ {1} (f_ {0} (3))) - 2}$

(За Функция Аккермана и Число Грэма границы см. быстрорастущая иерархия # Функции в быстрорастущих иерархиях.)

Приложение к вычислимым функциям

Теорема Гудстейна может быть использована для построения общей вычислимая функция что арифметика Пеано не может быть полной. Последовательность чисел Гудштейна можно эффективно перечислить с помощью Машина Тьюринга; таким образом функция, которая отображает п к количеству шагов, необходимых для последовательности Гудштейна п to terminate вычислим на конкретной машине Тьюринга. Эта машина просто перечисляет последовательность Гудштейна п и, когда последовательность достигает 0, возвращает длину последовательности. Поскольку каждая последовательность Гудштейна в конечном итоге завершается, эта функция является полной. Но поскольку арифметика Пеано не доказывает, что каждая последовательность Гудштейна завершается, арифметика Пеано не доказывает, что эта машина Тьюринга вычисляет полную функцию.

Смотрите также

Библиография

Гудштейн, Р. (1944), «Об ограниченной ординальной теореме», Журнал символической логики, 9 (2): 33–41, Дои:10.2307/2268019, JSTOR 2268019, S2CID 235597.
Cichon, E. (1983), "Краткое доказательство двух недавно обнаруженных результатов независимости с использованием рекурсивных теоретических методов", Труды Американского математического общества, 87 (4): 704–706, Дои:10.2307/2043364, JSTOR 2043364.
Кайседо, А. (2007), «Функция Гудштейна» (PDF), Revista Colombiana de Matemáticas, 41 (2): 381–391.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Гудштейна». MathWorld.
Некоторые элементы доказательства того, что теорема Гудстейна не является теоремой PA, из дипломной работы Джастина Т. Миллера
Классификация нестандартных моделей арифметики Пеано по теореме Гудстейна - Диссертация Дэна Каплана, Библиотека Колледжа Франклана и Маршалла
Определение последовательностей Гудштейна в Haskell и лямбда-исчисление
Игра Hydra реализована как Java-апплет.
Реализация Javascript варианта игры Hydra
Последовательности Гудштейна: сила объезда бесконечности - хорошая экспозиция с иллюстрациями к последовательностям Гудштейна и игре «Гидра».
Калькулятор Гудштейна

[kirkbyparis-1] а ^б ^c Кирби, L .; Пэрис, Дж. (1982). «Доступные результаты независимости для арифметики Пеано» (PDF). Бюллетень Лондонского математического общества. 14 (4): 285. CiteSeerX 10.1.1.107.3303. Дои:10.1112 / blms / 14.4.285.

[1]