Перечислительная комбинаторика - Википедия - Enumerative combinatorics

Перечислительная комбинаторика это область комбинаторика это касается количества способов, которыми могут быть сформированы определенные шаблоны. Двумя примерами такого типа проблем являются подсчет комбинации и считаю перестановки. В более общем смысле, учитывая бесконечный набор конечных множеств Sя индексируется натуральные числа, перечислительная комбинаторика стремится описать функция подсчета который подсчитывает количество объектов в Sп для каждого п. Несмотря на то что подсчет количество элементов в наборе довольно велико математическая проблема, многие проблемы, возникающие в приложениях, имеют относительно простые комбинаторный описание. В двенадцатикратный путь обеспечивает единую основу для подсчета перестановки, комбинации и перегородки.

Простейшие такие функции: закрытые формулы, который может быть выражен как композиция элементарных функций, таких как факториалы, полномочия и так далее. Например, как показано ниже, количество различных возможных порядков колоды п карты это ж(п) = п!. Проблема поиска замкнутой формулы известна как алгебраическое перечисление, и часто включает в себя получение отношение повторения или же производящая функция и используя это, чтобы прийти к желаемой закрытой форме.

Часто сложная замкнутая формула дает мало информации о поведении счетной функции при увеличении числа подсчитываемых объектов. В этих случаях простой асимптотический приближение может быть предпочтительнее. Функция является асимптотическим приближением к если в качестве . В этом случае мы пишем

Производящие функции

Производящие функции используются для описания семейств комбинаторных объектов. Позволять обозначим семейство объектов и пусть F(Икс) - его производящая функция. потом

куда обозначает количество комбинаторных объектов размером п. Количество комбинаторных объектов размера п поэтому определяется коэффициентом при . Теперь будут разработаны некоторые общие операции с семействами комбинаторных объектов и их влияние на производящую функцию. Иногда также используется экспоненциальная производящая функция. В этом случае он будет иметь вид

После определения производящая функция дает информацию, полученную с помощью предыдущих подходов. Кроме того, различные естественные операции над производящими функциями, такие как сложение, умножение, дифференцирование и т. Д., Имеют комбинаторное значение; это позволяет расширить результаты одной комбинаторной задачи для решения других.

Союз

Учитывая два комбинаторных семейства, и с производящими функциями F(Икс) и грамм(Икс) соответственно несвязное объединение двух семейств () имеет производящую функцию F(Икс) + грамм(Икс).

Пары

Для двух комбинаторных семейств, как указано выше, декартово произведение (пара) двух семейств () имеет производящую функцию F(Икс)грамм(Икс).

Последовательности

Последовательность обобщает идею пары, как определено выше. Последовательности произвольные Декартовы произведения комбинаторного объекта с самим собой. Формально:

Чтобы выразить вышесказанное словами: пустая последовательность, или последовательность из одного элемента, или последовательность из двух элементов, или последовательность из трех элементов, и т. Д., Генерирующая функция будет выглядеть так:

Комбинаторные структуры

Вышеупомянутые операции теперь можно использовать для перечисления общих комбинаторных объектов, включая деревья (двоичные и плоские), Дайковые тропы и циклы. Комбинаторная структура состоит из атомов. Например, в случае деревьев атомы будут узлами. Атомы, составляющие объект, могут быть помечены или не помечены. Немеченые атомы неотличимы друг от друга, а меченые атомы различны. Следовательно, для комбинаторного объекта, состоящего из меченых атомов, новый объект может быть сформирован простой заменой двух или более атомов.

Двоичные и плоские деревья

Двоичный и плоский деревья являются примерами комбинаторной структуры без меток. Деревья состоят из узлов, соединенных ребрами таким образом, чтобы не было циклов. Обычно существует узел, называемый корнем, у которого нет родительского узла. В плоских деревьях каждый узел может иметь произвольное количество дочерних элементов. В бинарных деревьях, частном случае плоских деревьев, каждый узел может иметь двух или не иметь потомков. Позволять обозначим семейство всех плоских деревьев. Тогда это семейство можно рекурсивно определить следующим образом:

В этом случае представляет собой семейство объектов, состоящее из одного узла. Это производящая функция Икс. Позволять п(Икс) обозначим производящую функцию .Вставим приведенное выше описание словами: Плоское дерево состоит из узла, к которому присоединено произвольное количество поддеревьев, каждое из которых также является плоским деревом. Используя операцию над семействами комбинаторных структур, разработанную ранее, это переводится в рекурсивную производящую функцию:

После решения для п(Икс):

Явная формула для количества плоских деревьев размером п теперь можно определить, извлекая коэффициент при Иксп.

Примечание. Обозначение [Иксп] ж(Икс) относится к коэффициенту Иксп в ж(ИксРазложение квадратного корня в ряд основано на обобщении Ньютона биномиальная теорема. Для перехода от четвертой к пятой строчке манипуляции с помощью обобщенный биномиальный коэффициент необходим.

Выражение в последней строке равно (п − 1)th Каталонский номер. Следовательно, пп = cп−1.

Смотрите также

Рекомендации