Алгебраическая статистика - Algebraic statistics

Алгебраическая статистика это использование алгебра для продвижения статистика. Алгебра была полезна для экспериментальная конструкция, оценка параметров, и проверка гипотезы.

Традиционно алгебраическая статистика была связана с планом экспериментов и многомерный анализ (особенно Временные ряды ). В последние годы термин «алгебраическая статистика» иногда ограничивался, иногда использовался для обозначения использования алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра в статистике.

Традиция алгебраической статистики

В прошлом статистики использовали алгебру для продвижения исследований в области статистики. Некоторая алгебраическая статистика привела к развитию новых тем в алгебре и комбинаторике, таких как схемы ассоциации.

Дизайн экспериментов

Например, Рональд А. Фишер, Генри Б. Манн, и Розмари А. Бейли применяемый Абелевы группы к дизайн экспериментов. Экспериментальные планы также были изучены с аффинная геометрия над конечные поля а затем с введением схемы ассоциации к Р. К. Бозе. Ортогональные массивы были представлены К. Р. Рао также для экспериментальных разработок.

Алгебраический анализ и абстрактный статистический вывод

Инвариантные меры на локально компактные группы уже давно используются в статистическая теория, особенно в многомерный анализ. Beurling с теорема факторизации и большая часть работы над (аннотация) гармонический анализ стремился лучше понять Wold разложение из стационарные случайные процессы, что важно в Временные ряды статистика.

Охватывая предыдущие результаты по теории вероятностей на алгебраических структурах, Ульф Гренандер разработал теорию «абстрактного вывода». Абстрактный вывод Гренандера и его теория паттернов полезны для пространственная статистика и анализ изображений; эти теории опираются на теория решетки.

Частично упорядоченные множества и решетки

Частично упорядоченные векторные пространства и векторные решетки используются в статистической теории. Гаррет Биркофф метризовал положительный конус с помощью Проективная метрика Гильберта и доказал Теорема Йенча с использованием сжатие теорема.^[1] Результаты Биркгофа использовались для максимальная энтропия оценка (который можно рассматривать как линейное программирование в бесконечные измерения ) к Джонатан Борвейн и коллеги.

Векторные решетки и конические меры были введены в теория статистических решений к Люсьен Ле Кам.

Недавние работы с использованием коммутативной алгебры и алгебраической геометрии

В последние годы термин «алгебраическая статистика» стал использоваться более ограничительно, чтобы обозначить использование алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра изучать проблемы, связанные с дискретные случайные величины с конечными пространствами состояний. Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия имеют приложения в статистике, потому что многие часто используемые классы дискретных случайных величин можно рассматривать как алгебраические многообразия.

Вводный пример

Рассмотрим случайная переменная Икс которые могут принимать значения 0, 1, 2. Такая переменная полностью характеризуется тремя вероятностями

{ displaystyle p_ {i} = mathrm {Pr} (X = i), quad i = 0,1,2}

и эти числа удовлетворяют

{ displaystyle sum _ {я = 0} ^ {2} p_ {i} = 1 quad { mbox {and}} quad 0 leq p_ {i} leq 1.}

И наоборот, любые три таких числа однозначно определяют случайную величину, поэтому мы можем идентифицировать случайную величину. Икс с кортежем (п₀,п₁,п₂)∈р³.

Теперь предположим Икс это биномиальная случайная величина с параметром q и п = 2, т.е. Икс представляет количество успехов при повторении определенного эксперимента два раза, где каждый эксперимент имеет индивидуальную вероятность успеха q. потом

{ displaystyle p_ {i} = mathrm {Pr} (X = i) = {2 choose i} q ^ {i} (1-q) ^ {2-i}}

и нетрудно показать, что кортежи (п₀,п₁,п₂), которые возникают таким образом, как раз и удовлетворяют

{ displaystyle 4p_ {0} p_ {2} -p_ {1} ^ {2} = 0. }

Последний является полиномиальное уравнение определение алгебраического многообразия (или поверхности) в р³, и эта разновидность при пересечении с симплекс данный

{ displaystyle sum _ {я = 0} ^ {2} p_ {i} = 1 quad { mbox {and}} quad 0 leq p_ {i} leq 1,}

дает кусок алгебраическая кривая который можно отождествить с множеством всех переменных Бернулли с 3 состояниями. Определение параметра q сводится к нахождению одной точки на этой кривой; проверка гипотезы о том, что данная переменная Икс является Бернулли сводится к проверке, лежит ли определенная точка на этой кривой или нет.

Применение алгебраической геометрии к статистической теории обучения

Алгебраическая геометрия также недавно нашла приложения для теория статистического обучения, включая обобщение из Информационный критерий Акаике к сингулярные статистические модели.^[2]

внешняя ссылка

[1] Пробел в Гаррет Биркофф оригинальное доказательство было заполнено Александр Островский.
Гаррет Биркофф, 1967. Теория решеток, 3-е изд. Vol. 25 публикаций коллоквиума AMS. Американское математическое общество.

[2] Гаррет Биркофф, 1967. Теория решеток, 3-е изд. Vol. 25 публикаций коллоквиума AMS. Американское математическое общество.

[2] Ватанабэ, Сумио. "Почему алгебраическая геометрия?".

[1]

[2]