Теорема Вольдса - Википедия - Wolds theorem

В статистика, Разложение Вольда или Теорема Вольда о представлении (не путать с теоремой Вольда, которая является аналогом дискретного времени Теорема Винера – Хинчина ), названный в честь Герман Вольд, говорит, что каждый ковариационно-стационарный Временные ряды ${ displaystyle Y_ {t}}$ можно записать как сумму двух временных рядов, один детерминированный и один стохастический.

Формально

{ displaystyle Y_ {t} = sum _ {j = 0} ^ { infty} b_ {j} varepsilon _ {t-j} + eta _ {t},}

куда:

${ displaystyle Y_ {t}}$ это Временные ряды рассматривается,

${ displaystyle varepsilon _ {t}}$ некоррелированная последовательность, которая является инновационный процесс к процессу ${ displaystyle Y_ {t}}$ - то есть процесс белого шума, который вводится в линейный фильтр ${ displaystyle {b_ {j} }}$ .

${ displaystyle b}$ это возможно бесконечный вектор скользящих средних весов (коэффициентов или параметров)

${ displaystyle eta _ {t}}$ представляет собой детерминированный временной ряд, например, представленный синусоидой.

Коэффициенты скользящего среднего имеют следующие свойства:

Стабильный, то есть суммируемый по квадрату ${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ { infty} | b_ {j} | ^ {2}}$ < ${ displaystyle infty}$
Причинная (т.е. нет терминов с j < 0)
Минимальная задержка^{[требуется разъяснение ]}
Постоянный ( ${ displaystyle b_ {j}}$ независим от т)
Принято определять ${ displaystyle b_ {0} = 1}$

Эту теорему можно рассматривать как теорему существования: любой стационарный процесс имеет это, казалось бы, особое представление. Примечательно не только существование такого простого линейного и точного представления, но еще более особый характер модели скользящего среднего. Представьте, что вы создаете процесс, который является скользящей средней, но не удовлетворяет этим свойствам 1–4. Например, коэффициенты ${ displaystyle b_ {j}}$ может определить акаузальную и неминимальная задержка^{[требуется разъяснение ]} модель. Тем не менее теорема гарантирует существование причинно-следственной связи. скользящее среднее с минимальной задержкой^{[требуется разъяснение ]} что точно представляет этот процесс. Как все это работает для случая причинности и свойства минимальной задержки, обсуждается в Scargle (1981), где обсуждается расширение разложения Уолда.

Полезность теоремы Вольда заключается в том, что она позволяет динамичный эволюция переменной ${ displaystyle Y_ {t}}$ быть приближенным к линейная модель. Если нововведения ${ displaystyle varepsilon _ {t}}$ находятся независимый, то линейная модель является единственно возможным представлением, связывающим наблюдаемое значение ${ displaystyle Y_ {t}}$ к его прошлой эволюции. Однако когда ${ displaystyle varepsilon _ {t}}$ это просто некоррелированный но не независимая последовательность, то линейная модель существует, но это не единственное представление динамической зависимости ряда. В этом последнем случае линейная модель может оказаться не очень полезной, и возникнет нелинейная модель, связывающая наблюдаемое значение ${ displaystyle Y_ {t}}$ к его прошлой эволюции. Однако на практике анализ временных рядов, часто рассматриваются только линейные предикторы, отчасти из соображений простоты, и в этом случае разложение Вольда имеет прямое отношение.

Представление Вольда зависит от бесконечного числа параметров, хотя на практике они обычно быстро затухают. В авторегрессионная модель является альтернативой, которая может иметь только несколько коэффициентов, если у соответствующей скользящей средней их много. Эти две модели можно объединить в модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), или модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA), если нестационарность присутствует. Видеть Scargle (1981) и ссылки там; Кроме того, в этой статье дается расширение теоремы Вольда, которое позволяет сделать скользящее среднее более универсальным (не обязательно стабильным, причинным или минимальным запаздыванием), сопровождаемым более точной характеристикой инновации (идентично и независимо распределенной, а не только некоррелированной). Это расширение позволяет создавать модели, которые более точно соответствуют физическим или астрофизическим процессам и, в частности, могут определять «стрелу времени».

Теорема Вольдса - Википедия - Wolds theorem

Рекомендации